\(\dfrac{6}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{6(\sqrt{5} - 4)}{(\sqrt{5} + 4)(\sqrt{5} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\(6(\sqrt{5} - 4) = 6\sqrt{5} - 24\)
\(= \dfrac{6\sqrt{5} - 24}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-6\sqrt{5} + 24}{11}\)
\(\dfrac{-6\sqrt{5} + 24}{11}\)
\(3\sqrt{63} - \dfrac{4\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{63} = 3\sqrt{3^{2}\times 7} = 3\times 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((4\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} - 1) = -7\sqrt{7} + 31\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{-7\sqrt{7} + 31}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{7} - \left(\dfrac{-7\sqrt{7} + 31}{6}\right) = \dfrac{61\sqrt{7} - 31}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{61\sqrt{7} - 31}{6}\)
\(\dfrac{61\sqrt{7} - 31}{6}\)
\(3\sqrt{48} + \dfrac{2\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{48} = 3\sqrt{4^{2}\times 3} = 3\times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 6)(\sqrt{3} - 5) = -4\sqrt{3} - 24\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{2\sqrt{3} + 12}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} + \left(\dfrac{2\sqrt{3} + 12}{11}\right) = \dfrac{134\sqrt{3} + 12}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{134\sqrt{3} + 12}{11}\)
\(\dfrac{134\sqrt{3} + 12}{11}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} + 4} = \dfrac{2(\sqrt{11} - 4)}{(\sqrt{11} + 4)(\sqrt{11} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\(2(\sqrt{11} - 4) = 2\sqrt{11} - 8\)
\(= \dfrac{2\sqrt{11} - 8}{-5}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{11} + 8}{5}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{11} + 8}{5}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(7(\sqrt{5} - 1) = 7\sqrt{5} - 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{5} - 7}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{5} - 7}{4}\)
\(\dfrac{7\sqrt{5} - 7}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} - 2}{2\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} - 3\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 4\times 3 - 9 = 3\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} - 2)(2\sqrt{3} - 3)\)
\(= 6\sqrt{15} - 9\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{3} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{15} - 9\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 6}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{15} - 9\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 6}{3}\)
\(\dfrac{6\sqrt{15} - 9\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 6}{3}\)
\(5\sqrt{125} + \dfrac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{125} = 5\sqrt{5^{2}\times 5} = 5\times 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\((2\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 1) = -3\sqrt{5} + 11\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{-3\sqrt{5} + 11}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{5} + \left(\dfrac{-3\sqrt{5} + 11}{4}\right) = \dfrac{97\sqrt{5} + 11}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{97\sqrt{5} + 11}{4}\)
\(\dfrac{97\sqrt{5} + 11}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 4}{3\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{11} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 9\times 11 - 4 = 95\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 4)(3\sqrt{11} + 2)\)
\(= 3\sqrt{55} + 2\sqrt{5} + 12\sqrt{11} + 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{11} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{55} + 2\sqrt{5} + 12\sqrt{11} + 8}{95}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{55} + 2\sqrt{5} + 12\sqrt{11} + 8}{95}\)
\(\dfrac{3\sqrt{55} + 2\sqrt{5} + 12\sqrt{11} + 8}{95}\)
\(2\sqrt{112} - \dfrac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{112} = 2\sqrt{4^{2}\times 7} = 2\times 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} - 3) = -8\sqrt{7} + 22\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 3} = 4\sqrt{7} - 11\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{7} - \left(4\sqrt{7} - 11\right) = 4\sqrt{7} + 11\)
النتيجة النهائية :\(= 4\sqrt{7} + 11\)
\(4\sqrt{7} + 11\)
\(2\sqrt{45} + \dfrac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{45} = 2\sqrt{3^{2}\times 5} = 2\times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 3) = -6\sqrt{5} + 14\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{3\sqrt{5} - 7}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{5} + \left(\dfrac{3\sqrt{5} - 7}{2}\right) = \dfrac{15\sqrt{5} - 7}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{15\sqrt{5} - 7}{2}\)
\(\dfrac{15\sqrt{5} - 7}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 2}{2\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} - 2\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 4\times 11 - 4 = 40\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} + 2)(2\sqrt{11} - 2)\)
\(= 2\sqrt{22} - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{11} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{22} - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{11} - 4}{40}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{22} - \sqrt{2} + 2\sqrt{11} - 2}{20}\)
\(\dfrac{\sqrt{22} - \sqrt{2} + 2\sqrt{11} - 2}{20}\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} + 6}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 1\times 5 - 1 = 4\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{7} + 6)(\sqrt{5} - 1)\)
\(= 5\sqrt{35} - 5\sqrt{7} + 6\sqrt{5} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{5} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{35} - 5\sqrt{7} + 6\sqrt{5} - 6}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{35} - 5\sqrt{7} + 6\sqrt{5} - 6}{4}\)
\(\dfrac{5\sqrt{35} - 5\sqrt{7} + 6\sqrt{5} - 6}{4}\)
\(4\sqrt{20} + \dfrac{5\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{20} = 4\sqrt{2^{2}\times 5} = 4\times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((5\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 3) = -18\sqrt{5} + 34\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{9\sqrt{5} - 17}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{5} + \left(\dfrac{9\sqrt{5} - 17}{2}\right) = \dfrac{25\sqrt{5} - 17}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{25\sqrt{5} - 17}{2}\)
\(\dfrac{25\sqrt{5} - 17}{2}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 2} = \dfrac{7(\sqrt{13} + 2)}{(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\(7(\sqrt{13} + 2) = 7\sqrt{13} + 14\)
\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 14}{9}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 14}{9}\)
\(\dfrac{7\sqrt{13} + 14}{9}\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{5} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{5} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 16\times 5 - 36 = 44\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} + 4)(4\sqrt{5} - 6)\)
\(= 20\sqrt{15} - 30\sqrt{3} + 16\sqrt{5} - 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{5} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{15} - 30\sqrt{3} + 16\sqrt{5} - 24}{44}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{10\sqrt{15} - 15\sqrt{3} + 8\sqrt{5} - 12}{22}\)
\(\dfrac{10\sqrt{15} - 15\sqrt{3} + 8\sqrt{5} - 12}{22}\)
\(4\sqrt{275} - \dfrac{3\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{275} = 4\sqrt{5^{2}\times 11} = 4\times 5\sqrt{11} = 20\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\((3\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} - 4) = -16\sqrt{11} + 49\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 4} = \dfrac{16\sqrt{11} - 49}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{11} - \left(\dfrac{16\sqrt{11} - 49}{5}\right) = \dfrac{84\sqrt{11} + 49}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{84\sqrt{11} + 49}{5}\)
\(\dfrac{84\sqrt{11} + 49}{5}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 2}{4\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} - 5\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 16\times 3 - 25 = 23\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} + 2)(4\sqrt{3} - 5)\)
\(= 4\sqrt{6} - 5\sqrt{2} + 8\sqrt{3} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{6} - 5\sqrt{2} + 8\sqrt{3} - 10}{23}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{6} - 5\sqrt{2} + 8\sqrt{3} - 10}{23}\)
\(\dfrac{4\sqrt{6} - 5\sqrt{2} + 8\sqrt{3} - 10}{23}\)
\(4\sqrt{52} + \dfrac{\sqrt{13} + 2}{\sqrt{13} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{52} = 4\sqrt{2^{2}\times 13} = 4\times 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\((\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 2) = 9\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 2}{\sqrt{13} + 2} = 1\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{13} + \left(1\right) = 8\sqrt{13} + 1\)
النتيجة النهائية :\(= 8\sqrt{13} + 1\)
\(8\sqrt{13} + 1\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 5\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} - 5} = \dfrac{8(\sqrt{13} + 5)}{(\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\(8(\sqrt{13} + 5) = 8\sqrt{13} + 40\)
\(= \dfrac{8\sqrt{13} + 40}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{13} - 10}{3}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{13} - 10}{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 1}{4\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} - 4\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 16\times 3 - 16 = 32\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 1)(4\sqrt{3} - 4)\)
\(= 8\sqrt{21} - 8\sqrt{7} - 4\sqrt{3} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{21} - 8\sqrt{7} - 4\sqrt{3} + 4}{32}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{21} - 2\sqrt{7} - \sqrt{3} + 1}{8}\)
\(\dfrac{2\sqrt{21} - 2\sqrt{7} - \sqrt{3} + 1}{8}\)