\(2\sqrt{18} - \dfrac{2\sqrt{2} + 4}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{18} = 2\sqrt{3^{2}\times 2} = 2\times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((2\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4) = -4\sqrt{2} - 12\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 4}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{2\sqrt{2} + 6}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{2} - \left(\dfrac{2\sqrt{2} + 6}{7}\right) = \dfrac{40\sqrt{2} - 6}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{40\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{40\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(3\sqrt{32} + \dfrac{5\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{32} = 3\sqrt{4^{2}\times 2} = 3\times 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\((5\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 5) = -24\sqrt{2} + 5\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{24\sqrt{2} - 5}{23}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{2} + \left(\dfrac{24\sqrt{2} - 5}{23}\right) = \dfrac{300\sqrt{2} - 5}{23}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{300\sqrt{2} - 5}{23}\)
\(\dfrac{300\sqrt{2} - 5}{23}\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} - 2}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 1\times 5 - 9 = -4\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{2} - 2)(\sqrt{5} - 3)\)
\(= 5\sqrt{10} - 15\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{10} - 15\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 6}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{10} + 15\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - 6}{4}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{10} + 15\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - 6}{4}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{6(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(6(\sqrt{5} - 3) = 6\sqrt{5} - 18\)
\(= \dfrac{6\sqrt{5} - 18}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} + 9}{2}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} + 9}{2}\)
\(5\sqrt{112} + \dfrac{5\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{112} = 5\sqrt{4^{2}\times 7} = 5\times 4\sqrt{7} = 20\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((5\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} - 2) = -13\sqrt{7} + 41\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{-13\sqrt{7} + 41}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{7} + \left(\dfrac{-13\sqrt{7} + 41}{3}\right) = \dfrac{47\sqrt{7} + 41}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{47\sqrt{7} + 41}{3}\)
\(\dfrac{47\sqrt{7} + 41}{3}\)
\(3\sqrt{275} - \dfrac{4\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{275} = 3\sqrt{5^{2}\times 11} = 3\times 5\sqrt{11} = 15\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((4\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 5) = -14\sqrt{11} + 14\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 5} = \sqrt{11} - 1\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{11} - \left(\sqrt{11} - 1\right) = 14\sqrt{11} + 1\)
النتيجة النهائية :\(= 14\sqrt{11} + 1\)
\(14\sqrt{11} + 1\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 6}{2\sqrt{7} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} - 5\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 4\times 7 - 25 = 3\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{2} + 6)(2\sqrt{7} - 5)\)
\(= 8\sqrt{14} - 20\sqrt{2} + 12\sqrt{7} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{7} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{14} - 20\sqrt{2} + 12\sqrt{7} - 30}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{14} - 20\sqrt{2} + 12\sqrt{7} - 30}{3}\)
\(\dfrac{8\sqrt{14} - 20\sqrt{2} + 12\sqrt{7} - 30}{3}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 5\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 5} = \dfrac{7(\sqrt{5} + 5)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\(7(\sqrt{5} + 5) = 7\sqrt{5} + 35\)
\(= \dfrac{7\sqrt{5} + 35}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{5} - 35}{20}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{5} - 35}{20}\)
\(5\sqrt{32} - \dfrac{5\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{32} = 5\sqrt{4^{2}\times 2} = 5\times 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\((5\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 5) = -20\sqrt{2} - 15\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{20\sqrt{2} + 15}{23}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} - \left(\dfrac{20\sqrt{2} + 15}{23}\right) = \dfrac{440\sqrt{2} - 15}{23}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{440\sqrt{2} - 15}{23}\)
\(\dfrac{440\sqrt{2} - 15}{23}\)
\(2\sqrt{80} - \dfrac{3\sqrt{5} + 4}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{80} = 2\sqrt{4^{2}\times 5} = 2\times 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\((3\sqrt{5} + 4)(\sqrt{5} - 2) = -2\sqrt{5} + 7\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} + 4}{\sqrt{5} + 2} = -2\sqrt{5} + 7\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{5} - \left(-2\sqrt{5} + 7\right) = 10\sqrt{5} - 7\)
النتيجة النهائية :\(= 10\sqrt{5} - 7\)
\(10\sqrt{5} - 7\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 3\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} - 3} = \dfrac{3(\sqrt{13} + 3)}{(\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\(3(\sqrt{13} + 3) = 3\sqrt{13} + 9\)
\(= \dfrac{3\sqrt{13} + 9}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{13} + 9}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 9}{4}\)
\(5\sqrt{27} + \dfrac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{27} = 5\sqrt{3^{2}\times 3} = 5\times 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 5) = -22\)
\(\dfrac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5} = 1\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{3} + \left(1\right) = 15\sqrt{3} + 1\)
النتيجة النهائية :\(= 15\sqrt{3} + 1\)
\(15\sqrt{3} + 1\)
\(4\sqrt{18} + \dfrac{4\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{18} = 4\sqrt{3^{2}\times 2} = 4\times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\((4\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 3) = -10\sqrt{2} + 2\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{10\sqrt{2} - 2}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{2} + \left(\dfrac{10\sqrt{2} - 2}{7}\right) = \dfrac{94\sqrt{2} - 2}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{94\sqrt{2} - 2}{7}\)
\(\dfrac{94\sqrt{2} - 2}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} - 4}{3\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} - 3\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 9\times 2 - 9 = 9\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{13} - 4)(3\sqrt{2} - 3)\)
\(= 6\sqrt{26} - 6\sqrt{13} - 12\sqrt{2} + 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{2} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{26} - 6\sqrt{13} - 12\sqrt{2} + 12}{9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{26} - 2\sqrt{13} - 4\sqrt{2} + 4}{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{26} - 2\sqrt{13} - 4\sqrt{2} + 4}{3}\)
\(2\sqrt{32} - \dfrac{4\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{32} = 2\sqrt{4^{2}\times 2} = 2\times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((4\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} - 2) = -14\sqrt{2} + 20\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 2} = 7\sqrt{2} - 10\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{2} - \left(7\sqrt{2} - 10\right) = \sqrt{2} + 10\)
النتيجة النهائية :\(= \sqrt{2} + 10\)
\(\sqrt{2} + 10\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 2}{4\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} + 4\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 16\times 7 - 16 = 96\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{11} - 2)(4\sqrt{7} + 4)\)
\(= 8\sqrt{77} + 8\sqrt{11} - 8\sqrt{7} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{77} + 8\sqrt{11} - 8\sqrt{7} - 8}{96}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{77} + \sqrt{11} - \sqrt{7} - 1}{12}\)
\(\dfrac{\sqrt{77} + \sqrt{11} - \sqrt{7} - 1}{12}\)
\(2\sqrt{27} - \dfrac{2\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^{2}\times 3} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((2\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} - 5) = -12\sqrt{3} + 16\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{6\sqrt{3} - 8}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{3} - \left(\dfrac{6\sqrt{3} - 8}{11}\right) = \dfrac{60\sqrt{3} + 8}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{60\sqrt{3} + 8}{11}\)
\(\dfrac{60\sqrt{3} + 8}{11}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 5}{3\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{11} - 6\)
المقام :\((3\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 9\times 11 - 36 = 63\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} - 5)(3\sqrt{11} - 6)\)
\(= 3\sqrt{55} - 6\sqrt{5} - 15\sqrt{11} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{11} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{55} - 6\sqrt{5} - 15\sqrt{11} + 30}{63}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{55} - 2\sqrt{5} - 5\sqrt{11} + 10}{21}\)
\(\dfrac{\sqrt{55} - 2\sqrt{5} - 5\sqrt{11} + 10}{21}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{2} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 3\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{2} - 3} = \dfrac{5(\sqrt{2} + 3)}{(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\(5(\sqrt{2} + 3) = 5\sqrt{2} + 15\)
\(= \dfrac{5\sqrt{2} + 15}{-7}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{2} - 15}{7}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{2} - 15}{7}\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} + 2}{2\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} - 3\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 4\times 11 - 9 = 35\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{7} + 2)(2\sqrt{11} - 3)\)
\(= 10\sqrt{77} - 15\sqrt{7} + 4\sqrt{11} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{77} - 15\sqrt{7} + 4\sqrt{11} - 6}{35}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{10\sqrt{77} - 15\sqrt{7} + 4\sqrt{11} - 6}{35}\)
\(\dfrac{10\sqrt{77} - 15\sqrt{7} + 4\sqrt{11} - 6}{35}\)