\(\dfrac{8}{\sqrt{3} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{3} + 6} = \dfrac{8(\sqrt{3} - 6)}{(\sqrt{3} + 6)(\sqrt{3} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 3 - 36 = -33\)
البسط :\(8(\sqrt{3} - 6) = 8\sqrt{3} - 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{3} - 48}{-33}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{3} + 48}{33}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{3} + 48}{33}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(2(\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} - 2\)
\(= \dfrac{2\sqrt{5} - 2}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 1}{\sqrt{3} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 6\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 1\times 3 - 36 = -33\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 1)(\sqrt{3} - 6)\)
\(= \sqrt{33} - 6\sqrt{11} - \sqrt{3} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{\sqrt{33} - 6\sqrt{11} - \sqrt{3} + 6}{-33}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{33} + 6\sqrt{11} + \sqrt{3} - 6}{33}\)
\(\dfrac{-\sqrt{33} + 6\sqrt{11} + \sqrt{3} - 6}{33}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 2\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} + 2} = \dfrac{6(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 3 - 4 = -1\)
البسط :\(6(\sqrt{3} - 2) = 6\sqrt{3} - 12\)
\(= \dfrac{6\sqrt{3} - 12}{-1}\)
نبسّط الكسر :\(= -6\sqrt{3} + 12\)
\(-6\sqrt{3} + 12\)
\(3\sqrt{44} + \dfrac{3\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{44} = 3\sqrt{2^{2}\times 11} = 3\times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\((3\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 4) = -10\sqrt{11} + 25\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 4} = 2\sqrt{11} - 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{11} + \left(2\sqrt{11} - 5\right) = 8\sqrt{11} - 5\)
النتيجة النهائية :\(= 8\sqrt{11} - 5\)
\(8\sqrt{11} - 5\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 2}{4\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} - 2\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 16\times 11 - 4 = 172\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 2)(4\sqrt{11} - 2)\)
\(= 4\sqrt{55} - 2\sqrt{5} + 8\sqrt{11} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{11} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{55} - 2\sqrt{5} + 8\sqrt{11} - 4}{172}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{55} - \sqrt{5} + 4\sqrt{11} - 2}{86}\)
\(\dfrac{2\sqrt{55} - \sqrt{5} + 4\sqrt{11} - 2}{86}\)
\(5\sqrt{27} - \dfrac{2\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{27} = 5\sqrt{3^{2}\times 3} = 5\times 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((2\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} - 5) = -15\sqrt{3} + 31\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{15\sqrt{3} - 31}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{3} - \left(\dfrac{15\sqrt{3} - 31}{22}\right) = \dfrac{315\sqrt{3} + 31}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{315\sqrt{3} + 31}{22}\)
\(\dfrac{315\sqrt{3} + 31}{22}\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 6}{4\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 16\times 3 - 25 = 23\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{2} - 6)(4\sqrt{3} + 5)\)
\(= 16\sqrt{6} + 20\sqrt{2} - 24\sqrt{3} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{6} + 20\sqrt{2} - 24\sqrt{3} - 30}{23}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{16\sqrt{6} + 20\sqrt{2} - 24\sqrt{3} - 30}{23}\)
\(\dfrac{16\sqrt{6} + 20\sqrt{2} - 24\sqrt{3} - 30}{23}\)
\(3\sqrt{45} + \dfrac{\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{45} = 3\sqrt{3^{2}\times 5} = 3\times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} - 4) = -8\sqrt{5} + 21\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{8\sqrt{5} - 21}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{5} + \left(\dfrac{8\sqrt{5} - 21}{11}\right) = \dfrac{107\sqrt{5} - 21}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{107\sqrt{5} - 21}{11}\)
\(\dfrac{107\sqrt{5} - 21}{11}\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 4}{2\sqrt{3} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} + 6\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 4\times 3 - 36 = -24\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} - 4)(2\sqrt{3} + 6)\)
\(= 8\sqrt{21} + 24\sqrt{7} - 8\sqrt{3} - 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{21} + 24\sqrt{7} - 8\sqrt{3} - 24}{-24}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{21} - 3\sqrt{7} + \sqrt{3} + 3}{3}\)
\(\dfrac{-\sqrt{21} - 3\sqrt{7} + \sqrt{3} + 3}{3}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{13} - 1)}{(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(7(\sqrt{13} - 1) = 7\sqrt{13} - 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{13} - 7}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{13} - 7}{12}\)
\(\dfrac{7\sqrt{13} - 7}{12}\)
\(2\sqrt{75} + \dfrac{2\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{75} = 2\sqrt{5^{2}\times 3} = 2\times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\((2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 3) = -7\sqrt{3} + 9\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{7\sqrt{3} - 9}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{3} + \left(\dfrac{7\sqrt{3} - 9}{6}\right) = \dfrac{67\sqrt{3} - 9}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{67\sqrt{3} - 9}{6}\)
\(\dfrac{67\sqrt{3} - 9}{6}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 4\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 4} = \dfrac{1(\sqrt{5} + 4)}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\(1(\sqrt{5} + 4) = \sqrt{5} + 4\)
\(= \dfrac{\sqrt{5} + 4}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{5} - 4}{11}\)
\(\dfrac{-\sqrt{5} - 4}{11}\)
\(5\sqrt{176} - \dfrac{2\sqrt{11} - 1}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{176} = 5\sqrt{4^{2}\times 11} = 5\times 4\sqrt{11} = 20\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((2\sqrt{11} - 1)(\sqrt{11} - 2) = -5\sqrt{11} + 24\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 1}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{-5\sqrt{11} + 24}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{11} - \left(\dfrac{-5\sqrt{11} + 24}{7}\right) = \dfrac{145\sqrt{11} - 24}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{145\sqrt{11} - 24}{7}\)
\(\dfrac{145\sqrt{11} - 24}{7}\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 1}{\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 6\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 1\times 11 - 36 = -25\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{2} - 1)(\sqrt{11} - 6)\)
\(= 4\sqrt{22} - 24\sqrt{2} - \sqrt{11} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{22} - 24\sqrt{2} - \sqrt{11} + 6}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{22} + 24\sqrt{2} + \sqrt{11} - 6}{25}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{22} + 24\sqrt{2} + \sqrt{11} - 6}{25}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 3\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} - 3} = \dfrac{7(\sqrt{2} + 3)}{(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\(7(\sqrt{2} + 3) = 7\sqrt{2} + 21\)
\(= \dfrac{7\sqrt{2} + 21}{-7}\)
نبسّط الكسر :\(= -\sqrt{2} - 3\)
\(-\sqrt{2} - 3\)
\(5\sqrt{44} + \dfrac{3\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{44} = 5\sqrt{2^{2}\times 11} = 5\times 2\sqrt{11} = 10\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((3\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} - 5) = -19\sqrt{11} + 53\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{19\sqrt{11} - 53}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{11} + \left(\dfrac{19\sqrt{11} - 53}{14}\right) = \dfrac{159\sqrt{11} - 53}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{159\sqrt{11} - 53}{14}\)
\(\dfrac{159\sqrt{11} - 53}{14}\)
\(4\sqrt{32} - \dfrac{2\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{32} = 4\sqrt{4^{2}\times 2} = 4\times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\((2\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} - 3) = -12\sqrt{2} + 22\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{12\sqrt{2} - 22}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{2} - \left(\dfrac{12\sqrt{2} - 22}{7}\right) = \dfrac{100\sqrt{2} + 22}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{100\sqrt{2} + 22}{7}\)
\(\dfrac{100\sqrt{2} + 22}{7}\)
\(4\sqrt{27} + \dfrac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{27} = 4\sqrt{3^{2}\times 3} = 4\times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 4) = -7\sqrt{3} + 2\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{7\sqrt{3} - 2}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} + \left(\dfrac{7\sqrt{3} - 2}{13}\right) = \dfrac{163\sqrt{3} - 2}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{163\sqrt{3} - 2}{13}\)
\(\dfrac{163\sqrt{3} - 2}{13}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 3\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 3} = \dfrac{4(\sqrt{11} + 3)}{(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\(4(\sqrt{11} + 3) = 4\sqrt{11} + 12\)
\(= \dfrac{4\sqrt{11} + 12}{2}\)
نبسّط الكسر :\(= 2\sqrt{11} + 6\)
\(2\sqrt{11} + 6\)