\(\dfrac{3\sqrt{3} - 3}{2\sqrt{2} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} + 5\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 4\times 2 - 25 = -17\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{2} + 5)\)
\(= 6\sqrt{6} + 15\sqrt{3} - 6\sqrt{2} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{6} + 15\sqrt{3} - 6\sqrt{2} - 15}{-17}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-6\sqrt{6} - 15\sqrt{3} + 6\sqrt{2} + 15}{17}\)
\(\dfrac{-6\sqrt{6} - 15\sqrt{3} + 6\sqrt{2} + 15}{17}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 1}{3\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 3\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 9\times 3 - 9 = 18\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 1)(3\sqrt{3} + 3)\)
\(= 6\sqrt{21} + 6\sqrt{7} - 3\sqrt{3} - 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{21} + 6\sqrt{7} - 3\sqrt{3} - 3}{18}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{21} + 2\sqrt{7} - \sqrt{3} - 1}{6}\)
\(\dfrac{2\sqrt{21} + 2\sqrt{7} - \sqrt{3} - 1}{6}\)
\(5\sqrt{99} - \dfrac{\sqrt{11} - 2}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{99} = 5\sqrt{3^{2}\times 11} = 5\times 3\sqrt{11} = 15\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\((\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} - 1) = -3\sqrt{11} + 13\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 2}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{-3\sqrt{11} + 13}{10}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{11} - \left(\dfrac{-3\sqrt{11} + 13}{10}\right) = \dfrac{153\sqrt{11} - 13}{10}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{153\sqrt{11} - 13}{10}\)
\(\dfrac{153\sqrt{11} - 13}{10}\)
\(4\sqrt{28} - \dfrac{5\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{28} = 4\sqrt{2^{2}\times 7} = 4\times 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((5\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} - 3) = -17\sqrt{7} + 41\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 3} = \dfrac{17\sqrt{7} - 41}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{7} - \left(\dfrac{17\sqrt{7} - 41}{2}\right) = \dfrac{-\sqrt{7} + 41}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{-\sqrt{7} + 41}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{7} + 41}{2}\)
\(5\sqrt{32} + \dfrac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{32} = 5\sqrt{4^{2}\times 2} = 5\times 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((4\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} - 2) = -13\sqrt{2} + 18\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{13\sqrt{2} - 18}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} + \left(\dfrac{13\sqrt{2} - 18}{2}\right) = \dfrac{53\sqrt{2} - 18}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{53\sqrt{2} - 18}{2}\)
\(\dfrac{53\sqrt{2} - 18}{2}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 2} = \dfrac{7(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{5} - 2) = 7\sqrt{5} - 14\)
\(= 7\sqrt{5} - 14\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{5} - 14\)
\(7\sqrt{5} - 14\)
\(2\sqrt{50} + \dfrac{4\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{50} = 2\sqrt{5^{2}\times 2} = 2\times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((4\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 4) = -14\sqrt{2}\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 4} = \sqrt{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right) = 11\sqrt{2}\)
النتيجة النهائية :\(= 11\sqrt{2}\)
\(11\sqrt{2}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 5\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} - 5} = \dfrac{4(\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\(4(\sqrt{3} + 5) = 4\sqrt{3} + 20\)
\(= \dfrac{4\sqrt{3} + 20}{-22}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{3} - 10}{11}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{3} - 10}{11}\)
\(2\sqrt{75} + \dfrac{4\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{75} = 2\sqrt{5^{2}\times 3} = 2\times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\((4\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 3) = -9\sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{3\sqrt{3} - 1}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{3} + \left(\dfrac{3\sqrt{3} - 1}{2}\right) = \dfrac{23\sqrt{3} - 1}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{23\sqrt{3} - 1}{2}\)
\(\dfrac{23\sqrt{3} - 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 5}{3\sqrt{2} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} + 4\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 9\times 2 - 16 = 2\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} - 5)(3\sqrt{2} + 4)\)
\(= 3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{2} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20}{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20}{2}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 4}{2\sqrt{5} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{5} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 4\times 5 - 1 = 19\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 4)(2\sqrt{5} + 1)\)
\(= 4\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + 8\sqrt{5} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + 8\sqrt{5} + 4}{19}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + 8\sqrt{5} + 4}{19}\)
\(\dfrac{4\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + 8\sqrt{5} + 4}{19}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 4}{4\sqrt{13} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{13} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 16\times 13 - 36 = 172\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} - 4)(4\sqrt{13} - 6)\)
\(= 16\sqrt{39} - 24\sqrt{3} - 16\sqrt{13} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{39} - 24\sqrt{3} - 16\sqrt{13} + 24}{172}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{4\sqrt{39} - 6\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 6}{43}\)
\(\dfrac{4\sqrt{39} - 6\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 6}{43}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 6\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} - 6} = \dfrac{6(\sqrt{2} + 6)}{(\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 2 - 36 = -34\)
البسط :\(6(\sqrt{2} + 6) = 6\sqrt{2} + 36\)
\(= \dfrac{6\sqrt{2} + 36}{-34}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{2} - 18}{17}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{2} - 18}{17}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} + 6} = \dfrac{8(\sqrt{11} - 6)}{(\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(8(\sqrt{11} - 6) = 8\sqrt{11} - 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{11} - 48}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{11} + 48}{25}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{11} + 48}{25}\)
\(4\sqrt{176} + \dfrac{2\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{176} = 4\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\times 4\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\((2\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} - 4) = -12\sqrt{11} + 38\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 4}{\sqrt{11} + 4} = \dfrac{12\sqrt{11} - 38}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{11} + \left(\dfrac{12\sqrt{11} - 38}{5}\right) = \dfrac{92\sqrt{11} - 38}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{92\sqrt{11} - 38}{5}\)
\(\dfrac{92\sqrt{11} - 38}{5}\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 2}{3\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} + 5\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 9\times 13 - 25 = 92\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{11} - 2)(3\sqrt{13} + 5)\)
\(= 6\sqrt{143} + 10\sqrt{11} - 6\sqrt{13} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{13} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{143} + 10\sqrt{11} - 6\sqrt{13} - 10}{92}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{143} + 5\sqrt{11} - 3\sqrt{13} - 5}{46}\)
\(\dfrac{3\sqrt{143} + 5\sqrt{11} - 3\sqrt{13} - 5}{46}\)
\(3\sqrt{45} + \dfrac{4\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{45} = 3\sqrt{3^{2}\times 5} = 3\times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((4\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 4) = -17\sqrt{5} + 24\)
\(\dfrac{4\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{17\sqrt{5} - 24}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{5} + \left(\dfrac{17\sqrt{5} - 24}{11}\right) = \dfrac{116\sqrt{5} - 24}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{116\sqrt{5} - 24}{11}\)
\(\dfrac{116\sqrt{5} - 24}{11}\)
\(3\sqrt{75} - \dfrac{4\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{75} = 3\sqrt{5^{2}\times 3} = 3\times 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((4\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4) = -12\sqrt{3} - 4\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{12\sqrt{3} + 4}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{3} - \left(\dfrac{12\sqrt{3} + 4}{13}\right) = \dfrac{183\sqrt{3} - 4}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{183\sqrt{3} - 4}{13}\)
\(\dfrac{183\sqrt{3} - 4}{13}\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} - 5}{4\sqrt{5} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{5} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 16\times 5 - 36 = 44\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{13} - 5)(4\sqrt{5} - 6)\)
\(= 16\sqrt{65} - 24\sqrt{13} - 20\sqrt{5} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{5} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{65} - 24\sqrt{13} - 20\sqrt{5} + 30}{44}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{8\sqrt{65} - 12\sqrt{13} - 10\sqrt{5} + 15}{22}\)
\(\dfrac{8\sqrt{65} - 12\sqrt{13} - 10\sqrt{5} + 15}{22}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 5}{4\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{13} + 3\)
المقام :\((4\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 16\times 13 - 9 = 199\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 5)(4\sqrt{13} + 3)\)
\(= 4\sqrt{65} + 3\sqrt{5} + 20\sqrt{13} + 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{65} + 3\sqrt{5} + 20\sqrt{13} + 15}{199}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{65} + 3\sqrt{5} + 20\sqrt{13} + 15}{199}\)
\(\dfrac{4\sqrt{65} + 3\sqrt{5} + 20\sqrt{13} + 15}{199}\)