\(3\sqrt{112} + \dfrac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{112} = 3\sqrt{4^{2}\times 7} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 2) = -\sqrt{7} + 5\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{-\sqrt{7} + 5}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} + \left(\dfrac{-\sqrt{7} + 5}{3}\right) = \dfrac{35\sqrt{7} + 5}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{35\sqrt{7} + 5}{3}\)
\(\dfrac{35\sqrt{7} + 5}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} + 5}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 1\times 11 - 4 = 7\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{2} + 5)(\sqrt{11} - 2)\)
\(= 3\sqrt{22} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{11} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{22} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{11} - 10}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{22} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\dfrac{3\sqrt{22} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{8(\sqrt{13} - 1)}{(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(8(\sqrt{13} - 1) = 8\sqrt{13} - 8\)
\(= \dfrac{8\sqrt{13} - 8}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{13} - 2}{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} - 2}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} + 1}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 1\times 11 - 25 = -14\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{11} + 5)\)
\(= 3\sqrt{22} + 15\sqrt{2} + \sqrt{11} + 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{22} + 15\sqrt{2} + \sqrt{11} + 5}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{22} - 15\sqrt{2} - \sqrt{11} - 5}{14}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{22} - 15\sqrt{2} - \sqrt{11} - 5}{14}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{5} - 5} = \dfrac{6(\sqrt{5} + 5)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\(6(\sqrt{5} + 5) = 6\sqrt{5} + 30\)
\(= \dfrac{6\sqrt{5} + 30}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} - 15}{10}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} - 15}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{11} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 1\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{11} - 1} = \dfrac{1(\sqrt{11} + 1)}{(\sqrt{11} - 1)(\sqrt{11} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\(1(\sqrt{11} + 1) = \sqrt{11} + 1\)
\(= \dfrac{\sqrt{11} + 1}{10}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{11} + 1}{10}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 1}{10}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} + 3}{2\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} + 3\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 4\times 13 - 9 = 43\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} + 3)(2\sqrt{13} + 3)\)
\(= 6\sqrt{65} + 9\sqrt{5} + 6\sqrt{13} + 9\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{65} + 9\sqrt{5} + 6\sqrt{13} + 9}{43}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{65} + 9\sqrt{5} + 6\sqrt{13} + 9}{43}\)
\(\dfrac{6\sqrt{65} + 9\sqrt{5} + 6\sqrt{13} + 9}{43}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 6\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 6} = \dfrac{7(\sqrt{13} + 6)}{(\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 13 - 36 = -23\)
البسط :\(7(\sqrt{13} + 6) = 7\sqrt{13} + 42\)
\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 42}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{13} - 42}{23}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{13} - 42}{23}\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 1}{3\sqrt{11} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{11} + 4\)
المقام :\((3\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 9\times 11 - 16 = 83\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{7} - 1)(3\sqrt{11} + 4)\)
\(= 9\sqrt{77} + 12\sqrt{7} - 3\sqrt{11} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{77} + 12\sqrt{7} - 3\sqrt{11} - 4}{83}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{9\sqrt{77} + 12\sqrt{7} - 3\sqrt{11} - 4}{83}\)
\(\dfrac{9\sqrt{77} + 12\sqrt{7} - 3\sqrt{11} - 4}{83}\)
\(5\sqrt{18} - \dfrac{4\sqrt{2} - 4}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{18} = 5\sqrt{3^{2}\times 2} = 5\times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((4\sqrt{2} - 4)(\sqrt{2} - 2) = -12\sqrt{2} + 16\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 4}{\sqrt{2} + 2} = 6\sqrt{2} - 8\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{2} - \left(6\sqrt{2} - 8\right) = 9\sqrt{2} + 8\)
النتيجة النهائية :\(= 9\sqrt{2} + 8\)
\(9\sqrt{2} + 8\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 4}{2\sqrt{5} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{5} + 2\)
المقام :\((2\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 4\times 5 - 4 = 16\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 4)(2\sqrt{5} + 2)\)
\(= 2\sqrt{55} + 2\sqrt{11} - 8\sqrt{5} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{5} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{55} + 2\sqrt{11} - 8\sqrt{5} - 8}{16}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{55} + \sqrt{11} - 4\sqrt{5} - 4}{8}\)
\(\dfrac{\sqrt{55} + \sqrt{11} - 4\sqrt{5} - 4}{8}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} - 5} = \dfrac{6(\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\(6(\sqrt{3} + 5) = 6\sqrt{3} + 30\)
\(= \dfrac{6\sqrt{3} + 30}{-22}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{3} - 15}{11}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{3} - 15}{11}\)
\(4\sqrt{52} - \dfrac{4\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{52} = 4\sqrt{2^{2}\times 13} = 4\times 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\((4\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} - 4) = -20\sqrt{13} + 68\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 4} = \dfrac{20\sqrt{13} - 68}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{13} - \left(\dfrac{20\sqrt{13} - 68}{3}\right) = \dfrac{4\sqrt{13} + 68}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{4\sqrt{13} + 68}{3}\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} + 68}{3}\)
\(4\sqrt{44} + \dfrac{4\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{44} = 4\sqrt{2^{2}\times 11} = 4\times 2\sqrt{11} = 8\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((4\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 2) = -6\sqrt{11} + 40\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{-6\sqrt{11} + 40}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{11} + \left(\dfrac{-6\sqrt{11} + 40}{7}\right) = \dfrac{50\sqrt{11} + 40}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{50\sqrt{11} + 40}{7}\)
\(\dfrac{50\sqrt{11} + 40}{7}\)
\(5\sqrt{80} + \dfrac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{80} = 5\sqrt{4^{2}\times 5} = 5\times 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((2\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 4) = -9\sqrt{5} + 14\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{9\sqrt{5} - 14}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{5} + \left(\dfrac{9\sqrt{5} - 14}{11}\right) = \dfrac{229\sqrt{5} - 14}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{229\sqrt{5} - 14}{11}\)
\(\dfrac{229\sqrt{5} - 14}{11}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 5}{4\sqrt{7} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 16\times 7 - 25 = 87\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} - 5)(4\sqrt{7} + 5)\)
\(= 16\sqrt{21} + 20\sqrt{3} - 20\sqrt{7} - 25\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{21} + 20\sqrt{3} - 20\sqrt{7} - 25}{87}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{16\sqrt{21} + 20\sqrt{3} - 20\sqrt{7} - 25}{87}\)
\(\dfrac{16\sqrt{21} + 20\sqrt{3} - 20\sqrt{7} - 25}{87}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{5(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(5(\sqrt{5} - 1) = 5\sqrt{5} - 5\)
\(= \dfrac{5\sqrt{5} - 5}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{5} - 5}{4}\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} - 5}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} - 6\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 4\times 11 - 36 = 8\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{11} - 6)\)
\(= 6\sqrt{33} - 18\sqrt{3} + 2\sqrt{11} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{33} - 18\sqrt{3} + 2\sqrt{11} - 6}{8}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{33} - 9\sqrt{3} + \sqrt{11} - 3}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{33} - 9\sqrt{3} + \sqrt{11} - 3}{4}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 2}{2\sqrt{13} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} - 6\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 4\times 13 - 36 = 16\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} + 2)(2\sqrt{13} - 6)\)
\(= 10\sqrt{143} - 30\sqrt{11} + 4\sqrt{13} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{13} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{143} - 30\sqrt{11} + 4\sqrt{13} - 12}{16}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{143} - 15\sqrt{11} + 2\sqrt{13} - 6}{8}\)
\(\dfrac{5\sqrt{143} - 15\sqrt{11} + 2\sqrt{13} - 6}{8}\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} + 3}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 1\times 7 - 16 = -9\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{13} + 3)(\sqrt{7} - 4)\)
\(= 5\sqrt{91} - 20\sqrt{13} + 3\sqrt{7} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{7} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{91} - 20\sqrt{13} + 3\sqrt{7} - 12}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{91} + 20\sqrt{13} - 3\sqrt{7} + 12}{9}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{91} + 20\sqrt{13} - 3\sqrt{7} + 12}{9}\)