\(\dfrac{5\sqrt{3} + 3}{4\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} - 3\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 16\times 7 - 9 = 103\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} + 3)(4\sqrt{7} - 3)\)
\(= 20\sqrt{21} - 15\sqrt{3} + 12\sqrt{7} - 9\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{21} - 15\sqrt{3} + 12\sqrt{7} - 9}{103}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{20\sqrt{21} - 15\sqrt{3} + 12\sqrt{7} - 9}{103}\)
\(\dfrac{20\sqrt{21} - 15\sqrt{3} + 12\sqrt{7} - 9}{103}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{3(\sqrt{11} - 1)}{(\sqrt{11} + 1)(\sqrt{11} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\(3(\sqrt{11} - 1) = 3\sqrt{11} - 3\)
\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 3}{10}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 3}{10}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 3}{10}\)
\(4\sqrt{63} + \dfrac{5\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{63} = 4\sqrt{3^{2}\times 7} = 4\times 3\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((5\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) = -4\sqrt{7} + 34\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{-2\sqrt{7} + 17}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} + \left(\dfrac{-2\sqrt{7} + 17}{3}\right) = \dfrac{34\sqrt{7} + 17}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{34\sqrt{7} + 17}{3}\)
\(\dfrac{34\sqrt{7} + 17}{3}\)
\(4\sqrt{99} + \dfrac{3\sqrt{11} - 5}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{99} = 4\sqrt{3^{2}\times 11} = 4\times 3\sqrt{11} = 12\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\((3\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} - 3) = -14\sqrt{11} + 48\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 5}{\sqrt{11} + 3} = -7\sqrt{11} + 24\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{11} + \left(-7\sqrt{11} + 24\right) = 5\sqrt{11} + 24\)
النتيجة النهائية :\(= 5\sqrt{11} + 24\)
\(5\sqrt{11} + 24\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(7(\sqrt{5} - 1) = 7\sqrt{5} - 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{5} - 7}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{5} - 7}{4}\)
\(\dfrac{7\sqrt{5} - 7}{4}\)
\(4\sqrt{80} - \dfrac{5\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{80} = 4\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 4) = -19\sqrt{5} + 21\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{19\sqrt{5} - 21}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{5} - \left(\dfrac{19\sqrt{5} - 21}{11}\right) = \dfrac{157\sqrt{5} + 21}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{157\sqrt{5} + 21}{11}\)
\(\dfrac{157\sqrt{5} + 21}{11}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 6}{2\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} - 3\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 4\times 2 - 9 = -1\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} - 6)(2\sqrt{2} - 3)\)
\(= 6\sqrt{26} - 9\sqrt{13} - 12\sqrt{2} + 18\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{2} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{26} - 9\sqrt{13} - 12\sqrt{2} + 18}{-1}\)
نبسّط الكسر :\(= -6\sqrt{26} + 9\sqrt{13} + 12\sqrt{2} - 18\)
\(-6\sqrt{26} + 9\sqrt{13} + 12\sqrt{2} - 18\)
\(5\sqrt{52} + \dfrac{\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{52} = 5\sqrt{2^{2}\times 13} = 5\times 2\sqrt{13} = 10\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} - 1) = -4\sqrt{13} + 16\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-\sqrt{13} + 4}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{13} + \left(\dfrac{-\sqrt{13} + 4}{3}\right) = \dfrac{29\sqrt{13} + 4}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{29\sqrt{13} + 4}{3}\)
\(\dfrac{29\sqrt{13} + 4}{3}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 6\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 6} = \dfrac{3(\sqrt{11} - 6)}{(\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(3(\sqrt{11} - 6) = 3\sqrt{11} - 18\)
\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 18}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{11} + 18}{25}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{11} + 18}{25}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 2}{3\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} - 5\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 9\times 13 - 25 = 92\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{3} + 2)(3\sqrt{13} - 5)\)
\(= 6\sqrt{39} - 10\sqrt{3} + 6\sqrt{13} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{39} - 10\sqrt{3} + 6\sqrt{13} - 10}{92}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{39} - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{13} - 5}{46}\)
\(\dfrac{3\sqrt{39} - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{13} - 5}{46}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 5} = \dfrac{2(\sqrt{11} + 5)}{(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(2(\sqrt{11} + 5) = 2\sqrt{11} + 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{11} + 10}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} - 5}{7}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} - 5}{7}\)
\(3\sqrt{44} - \dfrac{\sqrt{11} + 1}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{44} = 3\sqrt{2^{2}\times 11} = 3\times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((\sqrt{11} + 1)(\sqrt{11} - 5) = -4\sqrt{11} + 6\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 1}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{2\sqrt{11} - 3}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{11} - \left(\dfrac{2\sqrt{11} - 3}{7}\right) = \dfrac{40\sqrt{11} + 3}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{40\sqrt{11} + 3}{7}\)
\(\dfrac{40\sqrt{11} + 3}{7}\)
\(4\sqrt{325} - \dfrac{4\sqrt{13} - 2}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((4\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} - 1) = -6\sqrt{13} + 54\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} - 2}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-\sqrt{13} + 9}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} - \left(\dfrac{-\sqrt{13} + 9}{2}\right) = \dfrac{41\sqrt{13} - 9}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{41\sqrt{13} - 9}{2}\)
\(\dfrac{41\sqrt{13} - 9}{2}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} - 5} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\(2(\sqrt{3} + 5) = 2\sqrt{3} + 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{3} + 10}{-22}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} - 5}{11}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} - 5}{11}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 6}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 1\times 7 - 1 = 6\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 6)(\sqrt{7} - 1)\)
\(= \sqrt{77} - \sqrt{11} + 6\sqrt{7} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{\sqrt{77} - \sqrt{11} + 6\sqrt{7} - 6}{6}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{77} - \sqrt{11} + 6\sqrt{7} - 6}{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{77} - \sqrt{11} + 6\sqrt{7} - 6}{6}\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 4}{\sqrt{13} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 1\times 13 - 4 = 9\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{5} + 4)(\sqrt{13} + 2)\)
\(= 5\sqrt{65} + 10\sqrt{5} + 4\sqrt{13} + 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{65} + 10\sqrt{5} + 4\sqrt{13} + 8}{9}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{65} + 10\sqrt{5} + 4\sqrt{13} + 8}{9}\)
\(\dfrac{5\sqrt{65} + 10\sqrt{5} + 4\sqrt{13} + 8}{9}\)
\(3\sqrt{32} + \dfrac{\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{32} = 3\sqrt{4^{2}\times 2} = 3\times 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} - 4) = -9\sqrt{2} + 22\)
\(\dfrac{\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{9\sqrt{2} - 22}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{2} + \left(\dfrac{9\sqrt{2} - 22}{14}\right) = \dfrac{177\sqrt{2} - 22}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{177\sqrt{2} - 22}{14}\)
\(\dfrac{177\sqrt{2} - 22}{14}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 2}{4\sqrt{3} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} + 4\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 16\times 3 - 16 = 32\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 2)(4\sqrt{3} + 4)\)
\(= 4\sqrt{33} + 4\sqrt{11} + 8\sqrt{3} + 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{33} + 4\sqrt{11} + 8\sqrt{3} + 8}{32}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{33} + \sqrt{11} + 2\sqrt{3} + 2}{8}\)
\(\dfrac{\sqrt{33} + \sqrt{11} + 2\sqrt{3} + 2}{8}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 6\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} + 6} = \dfrac{5(\sqrt{11} - 6)}{(\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(5(\sqrt{11} - 6) = 5\sqrt{11} - 30\)
\(= \dfrac{5\sqrt{11} - 30}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} + 6}{5}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} + 6}{5}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 3}{4\sqrt{3} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} + 2\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 16\times 3 - 4 = 44\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 3)(4\sqrt{3} + 2)\)
\(= 4\sqrt{15} + 2\sqrt{5} + 12\sqrt{3} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{3} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{15} + 2\sqrt{5} + 12\sqrt{3} + 6}{44}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{15} + \sqrt{5} + 6\sqrt{3} + 3}{22}\)
\(\dfrac{2\sqrt{15} + \sqrt{5} + 6\sqrt{3} + 3}{22}\)