\(\dfrac{2\sqrt{7} + 1}{2\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} - 1\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 4\times 3 - 1 = 11\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} + 1)(2\sqrt{3} - 1)\)
\(= 4\sqrt{21} - 2\sqrt{7} + 2\sqrt{3} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{21} - 2\sqrt{7} + 2\sqrt{3} - 1}{11}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{21} - 2\sqrt{7} + 2\sqrt{3} - 1}{11}\)
\(\dfrac{4\sqrt{21} - 2\sqrt{7} + 2\sqrt{3} - 1}{11}\)
\(2\sqrt{175} - \dfrac{3\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{175} = 2\sqrt{5^{2}\times 7} = 2\times 5\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 5\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 7 - 25 = -18\)
البسط :\((3\sqrt{7} + 5)(\sqrt{7} - 5) = -10\sqrt{7} - 4\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 5} = \dfrac{5\sqrt{7} + 2}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{7} - \left(\dfrac{5\sqrt{7} + 2}{9}\right) = \dfrac{85\sqrt{7} - 2}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{85\sqrt{7} - 2}{9}\)
\(\dfrac{85\sqrt{7} - 2}{9}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 6\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} + 6} = \dfrac{3(\sqrt{7} - 6)}{(\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 7 - 36 = -29\)
البسط :\(3(\sqrt{7} - 6) = 3\sqrt{7} - 18\)
\(= \dfrac{3\sqrt{7} - 18}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{7} + 18}{29}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{7} + 18}{29}\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} - 3}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 1\times 2 - 9 = -7\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} - 3)(\sqrt{2} - 3)\)
\(= 5\sqrt{6} - 15\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 9\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{6} - 15\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 9}{-7}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{6} + 15\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - 9}{7}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{6} + 15\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - 9}{7}\)
\(3\sqrt{8} - \dfrac{2\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{8} = 3\sqrt{2^{2}\times 2} = 3\times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((2\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} - 4) = -13\sqrt{2} + 24\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{13\sqrt{2} - 24}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{2} - \left(\dfrac{13\sqrt{2} - 24}{14}\right) = \dfrac{71\sqrt{2} + 24}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{71\sqrt{2} + 24}{14}\)
\(\dfrac{71\sqrt{2} + 24}{14}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 4\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{13} - 4} = \dfrac{5(\sqrt{13} + 4)}{(\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(5(\sqrt{13} + 4) = 5\sqrt{13} + 20\)
\(= \dfrac{5\sqrt{13} + 20}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{13} - 20}{3}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{13} - 20}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 4}{\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 1\times 7 - 4 = 3\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} - 4)(\sqrt{7} + 2)\)
\(= 3\sqrt{21} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{7} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{21} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{7} - 8}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{21} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{7} - 8}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{21} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{7} - 8}{3}\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} - 4}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 1\times 13 - 25 = -12\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{11} - 4)(\sqrt{13} - 5)\)
\(= 4\sqrt{143} - 20\sqrt{11} - 4\sqrt{13} + 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{13} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{143} - 20\sqrt{11} - 4\sqrt{13} + 20}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{143} + 5\sqrt{11} + \sqrt{13} - 5}{3}\)
\(\dfrac{-\sqrt{143} + 5\sqrt{11} + \sqrt{13} - 5}{3}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{11} - 1)}{(\sqrt{11} + 1)(\sqrt{11} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\(7(\sqrt{11} - 1) = 7\sqrt{11} - 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 7}{10}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 7}{10}\)
\(\dfrac{7\sqrt{11} - 7}{10}\)
\(4\sqrt{325} - \dfrac{3\sqrt{13} + 4}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((3\sqrt{13} + 4)(\sqrt{13} - 3) = -5\sqrt{13} + 27\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 4}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{-5\sqrt{13} + 27}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} - \left(\dfrac{-5\sqrt{13} + 27}{4}\right) = \dfrac{85\sqrt{13} - 27}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{85\sqrt{13} - 27}{4}\)
\(\dfrac{85\sqrt{13} - 27}{4}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 6\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} + 6} = \dfrac{3(\sqrt{5} - 6)}{(\sqrt{5} + 6)(\sqrt{5} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 5 - 36 = -31\)
البسط :\(3(\sqrt{5} - 6) = 3\sqrt{5} - 18\)
\(= \dfrac{3\sqrt{5} - 18}{-31}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} + 18}{31}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} + 18}{31}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{7(\sqrt{7} - 4)}{(\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\(7(\sqrt{7} - 4) = 7\sqrt{7} - 28\)
\(= \dfrac{7\sqrt{7} - 28}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{7} + 28}{9}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{7} + 28}{9}\)
\(4\sqrt{44} - \dfrac{\sqrt{11} - 5}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{44} = 4\sqrt{2^{2}\times 11} = 4\times 2\sqrt{11} = 8\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} - 5) = -10\sqrt{11} + 36\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 5}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{5\sqrt{11} - 18}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{11} - \left(\dfrac{5\sqrt{11} - 18}{7}\right) = \dfrac{51\sqrt{11} + 18}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{51\sqrt{11} + 18}{7}\)
\(\dfrac{51\sqrt{11} + 18}{7}\)
\(3\sqrt{275} - \dfrac{4\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{275} = 3\sqrt{5^{2}\times 11} = 3\times 5\sqrt{11} = 15\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((4\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 2) = -2\sqrt{11} + 32\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{-2\sqrt{11} + 32}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{11} - \left(\dfrac{-2\sqrt{11} + 32}{7}\right) = \dfrac{107\sqrt{11} - 32}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{107\sqrt{11} - 32}{7}\)
\(\dfrac{107\sqrt{11} - 32}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 4}{3\sqrt{3} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 1\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 9\times 3 - 1 = 26\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 4)(3\sqrt{3} + 1)\)
\(= 6\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 4}{26}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{6} + \sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 2}{13}\)
\(\dfrac{3\sqrt{6} + \sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 2}{13}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{6(\sqrt{2} - 4)}{(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\(6(\sqrt{2} - 4) = 6\sqrt{2} - 24\)
\(= \dfrac{6\sqrt{2} - 24}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{2} + 12}{7}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{2} + 12}{7}\)
\(3\sqrt{208} - \dfrac{\sqrt{13} + 5}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{208} = 3\sqrt{4^{2}\times 13} = 3\times 4\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((\sqrt{13} + 5)(\sqrt{13} - 3) = 2\sqrt{13} - 2\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 5}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{13} - \left(\dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}\right) = \dfrac{23\sqrt{13} + 1}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{23\sqrt{13} + 1}{2}\)
\(\dfrac{23\sqrt{13} + 1}{2}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} + 6}{3\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} - 2\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 9\times 2 - 4 = 14\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} + 6)(3\sqrt{2} - 2)\)
\(= 6\sqrt{14} - 4\sqrt{7} + 18\sqrt{2} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{2} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{14} - 4\sqrt{7} + 18\sqrt{2} - 12}{14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{14} - 2\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{3\sqrt{14} - 2\sqrt{7} + 9\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{3(\sqrt{11} - 2)}{(\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\(3(\sqrt{11} - 2) = 3\sqrt{11} - 6\)
\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 6}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 6}{7}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 6}{7}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{6(\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(6(\sqrt{2} - 2) = 6\sqrt{2} - 12\)
\(= \dfrac{6\sqrt{2} - 12}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= -3\sqrt{2} + 6\)
\(-3\sqrt{2} + 6\)