\(4\sqrt{112} - \dfrac{5\sqrt{7} + 6}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{112} = 4\sqrt{4^{2}\times 7} = 4\times 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((5\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 4) = -14\sqrt{7} + 11\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} + 6}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{14\sqrt{7} - 11}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{7} - \left(\dfrac{14\sqrt{7} - 11}{9}\right) = \dfrac{130\sqrt{7} + 11}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{130\sqrt{7} + 11}{9}\)
\(\dfrac{130\sqrt{7} + 11}{9}\)
\(\dfrac{\sqrt{3} + 6}{\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 1\times 13 - 25 = -12\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} + 6)(\sqrt{13} + 5)\)
\(= \sqrt{39} + 5\sqrt{3} + 6\sqrt{13} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{\sqrt{39} + 5\sqrt{3} + 6\sqrt{13} + 30}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{39} - 5\sqrt{3} - 6\sqrt{13} - 30}{12}\)
\(\dfrac{-\sqrt{39} - 5\sqrt{3} - 6\sqrt{13} - 30}{12}\)
\(4\sqrt{125} - \dfrac{5\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{125} = 4\sqrt{5^{2}\times 5} = 4\times 5\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 4) = -17\sqrt{5} + 13\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{17\sqrt{5} - 13}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{5} - \left(\dfrac{17\sqrt{5} - 13}{11}\right) = \dfrac{203\sqrt{5} + 13}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{203\sqrt{5} + 13}{11}\)
\(\dfrac{203\sqrt{5} + 13}{11}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{8(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(8(\sqrt{5} - 3) = 8\sqrt{5} - 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{5} - 24}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= -2\sqrt{5} + 6\)
\(-2\sqrt{5} + 6\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 4}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 1\times 2 - 4 = -2\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} - 4)(\sqrt{2} + 2)\)
\(= 3\sqrt{26} + 6\sqrt{13} - 4\sqrt{2} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{2} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{26} + 6\sqrt{13} - 4\sqrt{2} - 8}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{26} - 6\sqrt{13} + 4\sqrt{2} + 8}{2}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{26} - 6\sqrt{13} + 4\sqrt{2} + 8}{2}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13} + 4} = \dfrac{2(\sqrt{13} - 4)}{(\sqrt{13} + 4)(\sqrt{13} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(2(\sqrt{13} - 4) = 2\sqrt{13} - 8\)
\(= \dfrac{2\sqrt{13} - 8}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{13} + 8}{3}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{13} + 8}{3}\)
\(4\sqrt{80} - \dfrac{2\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{80} = 4\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 5\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\((2\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 5) = -5\sqrt{5} - 15\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 5} = \dfrac{\sqrt{5} + 3}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{5} - \left(\dfrac{\sqrt{5} + 3}{4}\right) = \dfrac{63\sqrt{5} - 3}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{63\sqrt{5} - 3}{4}\)
\(\dfrac{63\sqrt{5} - 3}{4}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 1}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 1\times 13 - 1 = 12\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{13} - 1)\)
\(= 2\sqrt{26} - 2\sqrt{2} + \sqrt{13} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{13} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{26} - 2\sqrt{2} + \sqrt{13} - 1}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{26} - 2\sqrt{2} + \sqrt{13} - 1}{12}\)
\(\dfrac{2\sqrt{26} - 2\sqrt{2} + \sqrt{13} - 1}{12}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 2} = \dfrac{7(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{5} + 2) = 7\sqrt{5} + 14\)
\(= 7\sqrt{5} + 14\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{5} + 14\)
\(7\sqrt{5} + 14\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 4\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 4} = \dfrac{2(\sqrt{11} + 4)}{(\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\(2(\sqrt{11} + 4) = 2\sqrt{11} + 8\)
\(= \dfrac{2\sqrt{11} + 8}{-5}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{11} - 8}{5}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{11} - 8}{5}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 4} = \dfrac{4(\sqrt{11} + 4)}{(\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\(4(\sqrt{11} + 4) = 4\sqrt{11} + 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{11} + 16}{-5}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{11} - 16}{5}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{11} - 16}{5}\)
\(4\sqrt{75} - \dfrac{5\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{75} = 4\sqrt{5^{2}\times 3} = 4\times 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((5\sqrt{3} - 6)(\sqrt{3} - 5) = -31\sqrt{3} + 45\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{31\sqrt{3} - 45}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{3} - \left(\dfrac{31\sqrt{3} - 45}{22}\right) = \dfrac{409\sqrt{3} + 45}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{409\sqrt{3} + 45}{22}\)
\(\dfrac{409\sqrt{3} + 45}{22}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} - 3} = \dfrac{4(\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(4(\sqrt{3} + 3) = 4\sqrt{3} + 12\)
\(= \dfrac{4\sqrt{3} + 12}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{3} - 6}{3}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{3} - 6}{3}\)
\(5\sqrt{125} - \dfrac{2\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{125} = 5\sqrt{5^{2}\times 5} = 5\times 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((2\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 4) = -3\sqrt{5} - 10\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{3\sqrt{5} + 10}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{5} - \left(\dfrac{3\sqrt{5} + 10}{11}\right) = \dfrac{272\sqrt{5} - 10}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{272\sqrt{5} - 10}{11}\)
\(\dfrac{272\sqrt{5} - 10}{11}\)
\(3\sqrt{112} + \dfrac{\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{112} = 3\sqrt{4^{2}\times 7} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} - 3) = -6\sqrt{7} + 16\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3} = 3\sqrt{7} - 8\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} + \left(3\sqrt{7} - 8\right) = 15\sqrt{7} - 8\)
النتيجة النهائية :\(= 15\sqrt{7} - 8\)
\(15\sqrt{7} - 8\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 6\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} + 6} = \dfrac{3(\sqrt{2} - 6)}{(\sqrt{2} + 6)(\sqrt{2} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 2 - 36 = -34\)
البسط :\(3(\sqrt{2} - 6) = 3\sqrt{2} - 18\)
\(= \dfrac{3\sqrt{2} - 18}{-34}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{2} + 18}{34}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{2} + 18}{34}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 5\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} - 5} = \dfrac{3(\sqrt{2} + 5)}{(\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\(3(\sqrt{2} + 5) = 3\sqrt{2} + 15\)
\(= \dfrac{3\sqrt{2} + 15}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{2} - 15}{23}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{2} - 15}{23}\)
\(3\sqrt{208} - \dfrac{4\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{208} = 3\sqrt{4^{2}\times 13} = 3\times 4\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\((4\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} - 4) = -19\sqrt{13} + 64\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} + 4} = \dfrac{19\sqrt{13} - 64}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{13} - \left(\dfrac{19\sqrt{13} - 64}{3}\right) = \dfrac{17\sqrt{13} + 64}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{17\sqrt{13} + 64}{3}\)
\(\dfrac{17\sqrt{13} + 64}{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 1}{2\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} - 3\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 4\times 3 - 9 = 3\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} - 1)(2\sqrt{3} - 3)\)
\(= 2\sqrt{21} - 3\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{21} - 3\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 3}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{21} - 3\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 3}{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{21} - 3\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 3}{3}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{5(\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\(5(\sqrt{7} - 1) = 5\sqrt{7} - 5\)
\(= \dfrac{5\sqrt{7} - 5}{6}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{7} - 5}{6}\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 5}{6}\)