\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{8(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(8(\sqrt{2} - 1) = 8\sqrt{2} - 8\)
\(= 8\sqrt{2} - 8\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 8\sqrt{2} - 8\)
\(8\sqrt{2} - 8\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 5}{4\sqrt{7} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 16\times 7 - 36 = 76\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} + 5)(4\sqrt{7} - 6)\)
\(= 20\sqrt{21} - 30\sqrt{3} + 20\sqrt{7} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{21} - 30\sqrt{3} + 20\sqrt{7} - 30}{76}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{10\sqrt{21} - 15\sqrt{3} + 10\sqrt{7} - 15}{38}\)
\(\dfrac{10\sqrt{21} - 15\sqrt{3} + 10\sqrt{7} - 15}{38}\)
\(3\sqrt{80} - \dfrac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{80} = 3\sqrt{4^{2}\times 5} = 3\times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\((2\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 2) = -5\sqrt{5} + 12\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 2} = -5\sqrt{5} + 12\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{5} - \left(-5\sqrt{5} + 12\right) = 17\sqrt{5} - 12\)
النتيجة النهائية :\(= 17\sqrt{5} - 12\)
\(17\sqrt{5} - 12\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 5}{3\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} - 2\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 9\times 2 - 4 = 14\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{5} - 5)(3\sqrt{2} - 2)\)
\(= 6\sqrt{10} - 4\sqrt{5} - 15\sqrt{2} + 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{2} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{10} - 4\sqrt{5} - 15\sqrt{2} + 10}{14}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{10} - 4\sqrt{5} - 15\sqrt{2} + 10}{14}\)
\(\dfrac{6\sqrt{10} - 4\sqrt{5} - 15\sqrt{2} + 10}{14}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{8(\sqrt{2} - 5)}{(\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\(8(\sqrt{2} - 5) = 8\sqrt{2} - 40\)
\(= \dfrac{8\sqrt{2} - 40}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{2} + 40}{23}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{2} + 40}{23}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 6\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 6} = \dfrac{1(\sqrt{13} + 6)}{(\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 13 - 36 = -23\)
البسط :\(1(\sqrt{13} + 6) = \sqrt{13} + 6\)
\(= \dfrac{\sqrt{13} + 6}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} - 6}{23}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} - 6}{23}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{6(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\(6(\sqrt{3} - 4) = 6\sqrt{3} - 24\)
\(= \dfrac{6\sqrt{3} - 24}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-6\sqrt{3} + 24}{13}\)
\(\dfrac{-6\sqrt{3} + 24}{13}\)
\(2\sqrt{125} + \dfrac{3\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{125} = 2\sqrt{5^{2}\times 5} = 2\times 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\((3\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 2) = -5\sqrt{5} + 13\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 2} = -5\sqrt{5} + 13\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{5} + \left(-5\sqrt{5} + 13\right) = 5\sqrt{5} + 13\)
النتيجة النهائية :\(= 5\sqrt{5} + 13\)
\(5\sqrt{5} + 13\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} + 3} = \dfrac{8(\sqrt{7} - 3)}{(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\(8(\sqrt{7} - 3) = 8\sqrt{7} - 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{7} - 24}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= -4\sqrt{7} + 12\)
\(-4\sqrt{7} + 12\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 2}{2\sqrt{2} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} + 5\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 4\times 2 - 25 = -17\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} - 2)(2\sqrt{2} + 5)\)
\(= 8\sqrt{14} + 20\sqrt{7} - 4\sqrt{2} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{2} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{14} + 20\sqrt{7} - 4\sqrt{2} - 10}{-17}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{14} - 20\sqrt{7} + 4\sqrt{2} + 10}{17}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{14} - 20\sqrt{7} + 4\sqrt{2} + 10}{17}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} - 2} = \dfrac{2(\sqrt{2} + 2)}{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(2(\sqrt{2} + 2) = 2\sqrt{2} + 4\)
\(= \dfrac{2\sqrt{2} + 4}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= -\sqrt{2} - 2\)
\(-\sqrt{2} - 2\)
\(4\sqrt{325} + \dfrac{\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\((\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} - 2) = -6\sqrt{13} + 21\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 2} = \dfrac{-2\sqrt{13} + 7}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} + \left(\dfrac{-2\sqrt{13} + 7}{3}\right) = \dfrac{58\sqrt{13} + 7}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{58\sqrt{13} + 7}{3}\)
\(\dfrac{58\sqrt{13} + 7}{3}\)
\(3\sqrt{20} - \dfrac{4\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{20} = 3\sqrt{2^{2}\times 5} = 3\times 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((4\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} - 4) = -18\sqrt{5} + 28\)
\(\dfrac{4\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{18\sqrt{5} - 28}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{5} - \left(\dfrac{18\sqrt{5} - 28}{11}\right) = \dfrac{48\sqrt{5} + 28}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{48\sqrt{5} + 28}{11}\)
\(\dfrac{48\sqrt{5} + 28}{11}\)
\(4\sqrt{75} + \dfrac{5\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{75} = 4\sqrt{5^{2}\times 3} = 4\times 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\((5\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 3) = -10\sqrt{3}\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{3} + \left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{65\sqrt{3}}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{65\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{65\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 4}{\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 1\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 1\times 3 - 1 = 2\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{5} - 4)(\sqrt{3} - 1)\)
\(= 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{3} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{3} + 4}{2}\)
نبسّط الكسر :\(= \sqrt{15} - \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 2\)
\(\sqrt{15} - \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 2\)
\(5\sqrt{208} - \dfrac{5\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{208} = 5\sqrt{4^{2}\times 13} = 5\times 4\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((5\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 5) = -24\sqrt{13} + 60\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} + 5} = 2\sqrt{13} - 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} - \left(2\sqrt{13} - 5\right) = 18\sqrt{13} + 5\)
النتيجة النهائية :\(= 18\sqrt{13} + 5\)
\(18\sqrt{13} + 5\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{2} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 4\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{2} - 4} = \dfrac{5(\sqrt{2} + 4)}{(\sqrt{2} - 4)(\sqrt{2} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\(5(\sqrt{2} + 4) = 5\sqrt{2} + 20\)
\(= \dfrac{5\sqrt{2} + 20}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{2} - 20}{14}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{2} - 20}{14}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{7(\sqrt{3} - 3)}{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(7(\sqrt{3} - 3) = 7\sqrt{3} - 21\)
\(= \dfrac{7\sqrt{3} - 21}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{3} + 21}{6}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{3} + 21}{6}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 2)}{(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\(6(\sqrt{7} - 2) = 6\sqrt{7} - 12\)
\(= \dfrac{6\sqrt{7} - 12}{3}\)
نبسّط الكسر :\(= 2\sqrt{7} - 4\)
\(2\sqrt{7} - 4\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 1}{2\sqrt{7} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 4\times 7 - 1 = 27\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 1)(2\sqrt{7} + 1)\)
\(= 2\sqrt{77} + \sqrt{11} - 2\sqrt{7} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{77} + \sqrt{11} - 2\sqrt{7} - 1}{27}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{77} + \sqrt{11} - 2\sqrt{7} - 1}{27}\)
\(\dfrac{2\sqrt{77} + \sqrt{11} - 2\sqrt{7} - 1}{27}\)