\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{6(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(6(\sqrt{2} - 1) = 6\sqrt{2} - 6\)
\(= 6\sqrt{2} - 6\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 6\sqrt{2} - 6\)
\(6\sqrt{2} - 6\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 3}{2\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} - 5\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 4\times 13 - 25 = 27\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{11} + 3)(2\sqrt{13} - 5)\)
\(= 8\sqrt{143} - 20\sqrt{11} + 6\sqrt{13} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{13} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{143} - 20\sqrt{11} + 6\sqrt{13} - 15}{27}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{143} - 20\sqrt{11} + 6\sqrt{13} - 15}{27}\)
\(\dfrac{8\sqrt{143} - 20\sqrt{11} + 6\sqrt{13} - 15}{27}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{5} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{5} + 6\)
المقام :\((2\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 4\times 5 - 36 = -16\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{5} + 6)\)
\(= 2\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 6}{-16}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{10} - 3\sqrt{2} + \sqrt{5} + 3}{8}\)
\(\dfrac{-\sqrt{10} - 3\sqrt{2} + \sqrt{5} + 3}{8}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 2\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} = \dfrac{1(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\(1(\sqrt{5} + 2) = \sqrt{5} + 2\)
\(= \sqrt{5} + 2\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \sqrt{5} + 2\)
\(\sqrt{5} + 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 6\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 6} = \dfrac{7(\sqrt{13} + 6)}{(\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 13 - 36 = -23\)
البسط :\(7(\sqrt{13} + 6) = 7\sqrt{13} + 42\)
\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 42}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{13} - 42}{23}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{13} - 42}{23}\)
\(4\sqrt{80} - \dfrac{3\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{80} = 4\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\((3\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} - 1) = -7\sqrt{5} + 19\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{-7\sqrt{5} + 19}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{5} - \left(\dfrac{-7\sqrt{5} + 19}{4}\right) = \dfrac{71\sqrt{5} - 19}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{71\sqrt{5} - 19}{4}\)
\(\dfrac{71\sqrt{5} - 19}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} - 2}{4\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{2} + 2\)
المقام :\((4\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 16\times 2 - 4 = 28\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} - 2)(4\sqrt{2} + 2)\)
\(= 12\sqrt{10} + 6\sqrt{5} - 8\sqrt{2} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{2} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{10} + 6\sqrt{5} - 8\sqrt{2} - 4}{28}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{6\sqrt{10} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{2} - 2}{14}\)
\(\dfrac{6\sqrt{10} + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{2} - 2}{14}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{7} - 4} = \dfrac{4(\sqrt{7} + 4)}{(\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\(4(\sqrt{7} + 4) = 4\sqrt{7} + 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{7} + 16}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{7} - 16}{9}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{7} - 16}{9}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 4\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{7} - 4} = \dfrac{5(\sqrt{7} + 4)}{(\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\(5(\sqrt{7} + 4) = 5\sqrt{7} + 20\)
\(= \dfrac{5\sqrt{7} + 20}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{8(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(8(\sqrt{5} - 3) = 8\sqrt{5} - 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{5} - 24}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= -2\sqrt{5} + 6\)
\(-2\sqrt{5} + 6\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{2(\sqrt{7} - 4)}{(\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\(2(\sqrt{7} - 4) = 2\sqrt{7} - 8\)
\(= \dfrac{2\sqrt{7} - 8}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{7} + 8}{9}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{7} + 8}{9}\)
\(2\sqrt{28} + \dfrac{5\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{28} = 2\sqrt{2^{2}\times 7} = 2\times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((5\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} - 1) = -9\sqrt{7} + 39\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{-3\sqrt{7} + 13}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{7} + \left(\dfrac{-3\sqrt{7} + 13}{2}\right) = \dfrac{5\sqrt{7} + 13}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{5\sqrt{7} + 13}{2}\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} + 13}{2}\)
\(4\sqrt{125} + \dfrac{5\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{125} = 4\sqrt{5^{2}\times 5} = 4\times 5\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 3) = -13\sqrt{5} + 19\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{13\sqrt{5} - 19}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{5} + \left(\dfrac{13\sqrt{5} - 19}{4}\right) = \dfrac{93\sqrt{5} - 19}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{93\sqrt{5} - 19}{4}\)
\(\dfrac{93\sqrt{5} - 19}{4}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{1(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(1(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} - 1\)
\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
\(2\sqrt{28} - \dfrac{3\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{28} = 2\sqrt{2^{2}\times 7} = 2\times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((3\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} - 3) = -12\sqrt{7} + 30\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3} = 6\sqrt{7} - 15\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{7} - \left(6\sqrt{7} - 15\right) = -2\sqrt{7} + 15\)
النتيجة النهائية :\(= -2\sqrt{7} + 15\)
\(-2\sqrt{7} + 15\)
\(5\sqrt{18} - \dfrac{4\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{18} = 5\sqrt{3^{2}\times 2} = 5\times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((4\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 2) = -9\sqrt{2} + 10\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{9\sqrt{2} - 10}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{2} - \left(\dfrac{9\sqrt{2} - 10}{2}\right) = \dfrac{21\sqrt{2} + 10}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{21\sqrt{2} + 10}{2}\)
\(\dfrac{21\sqrt{2} + 10}{2}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{1(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\(1(\sqrt{3} - 4) = \sqrt{3} - 4\)
\(= \dfrac{\sqrt{3} - 4}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} + 4}{13}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} + 4}{13}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{1(\sqrt{13} - 5)}{(\sqrt{13} + 5)(\sqrt{13} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\(1(\sqrt{13} - 5) = \sqrt{13} - 5\)
\(= \dfrac{\sqrt{13} - 5}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} + 5}{12}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} + 5}{12}\)
\(5\sqrt{80} + \dfrac{4\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{80} = 5\sqrt{4^{2}\times 5} = 5\times 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\((4\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 2) = -3\sqrt{5} + 10\)
\(\dfrac{4\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 2} = -3\sqrt{5} + 10\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{5} + \left(-3\sqrt{5} + 10\right) = 17\sqrt{5} + 10\)
النتيجة النهائية :\(= 17\sqrt{5} + 10\)
\(17\sqrt{5} + 10\)
\(2\sqrt{18} + \dfrac{\sqrt{2} + 4}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{18} = 2\sqrt{3^{2}\times 2} = 2\times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 2) = 2\sqrt{2} - 6\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 4}{\sqrt{2} + 2} = -\sqrt{2} + 3\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{2} + \left(-\sqrt{2} + 3\right) = 5\sqrt{2} + 3\)
النتيجة النهائية :\(= 5\sqrt{2} + 3\)
\(5\sqrt{2} + 3\)