\(2\sqrt{176} + \dfrac{2\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{176} = 2\sqrt{4^{2}\times 11} = 2\times 4\sqrt{11} = 8\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((2\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} - 2) = -10\sqrt{11} + 34\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{-10\sqrt{11} + 34}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{11} + \left(\dfrac{-10\sqrt{11} + 34}{7}\right) = \dfrac{46\sqrt{11} + 34}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{46\sqrt{11} + 34}{7}\)
\(\dfrac{46\sqrt{11} + 34}{7}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 1}{3\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{7} + 4\)
المقام :\((3\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 9\times 7 - 16 = 47\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 1)(3\sqrt{7} + 4)\)
\(= 3\sqrt{77} + 4\sqrt{11} + 3\sqrt{7} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{77} + 4\sqrt{11} + 3\sqrt{7} + 4}{47}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{77} + 4\sqrt{11} + 3\sqrt{7} + 4}{47}\)
\(\dfrac{3\sqrt{77} + 4\sqrt{11} + 3\sqrt{7} + 4}{47}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 5} = \dfrac{2(\sqrt{11} + 5)}{(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(2(\sqrt{11} + 5) = 2\sqrt{11} + 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{11} + 10}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} - 5}{7}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} - 5}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 3}{4\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 2\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 16\times 11 - 4 = 172\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 3)(4\sqrt{11} + 2)\)
\(= 8\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 12\sqrt{11} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 12\sqrt{11} - 6}{172}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{4\sqrt{77} + 2\sqrt{7} - 6\sqrt{11} - 3}{86}\)
\(\dfrac{4\sqrt{77} + 2\sqrt{7} - 6\sqrt{11} - 3}{86}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 6\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 6} = \dfrac{7(\sqrt{5} + 6)}{(\sqrt{5} - 6)(\sqrt{5} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 5 - 36 = -31\)
البسط :\(7(\sqrt{5} + 6) = 7\sqrt{5} + 42\)
\(= \dfrac{7\sqrt{5} + 42}{-31}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{5} - 42}{31}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{5} - 42}{31}\)
\(3\sqrt{208} + \dfrac{3\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{208} = 3\sqrt{4^{2}\times 13} = 3\times 4\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((3\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} - 3) = -12\sqrt{13} + 48\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 3}{\sqrt{13} + 3} = -3\sqrt{13} + 12\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{13} + \left(-3\sqrt{13} + 12\right) = 9\sqrt{13} + 12\)
النتيجة النهائية :\(= 9\sqrt{13} + 12\)
\(9\sqrt{13} + 12\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 3\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} - 3} = \dfrac{2(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(2(\sqrt{5} + 3) = 2\sqrt{5} + 6\)
\(= \dfrac{2\sqrt{5} + 6}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{5} - 3}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{5} - 3}{2}\)
\(3\sqrt{99} + \dfrac{5\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{99} = 3\sqrt{3^{2}\times 11} = 3\times 3\sqrt{11} = 9\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\((5\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} - 4) = -26\sqrt{11} + 79\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 4} = \dfrac{26\sqrt{11} - 79}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{11} + \left(\dfrac{26\sqrt{11} - 79}{5}\right) = \dfrac{71\sqrt{11} - 79}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{71\sqrt{11} - 79}{5}\)
\(\dfrac{71\sqrt{11} - 79}{5}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 5}{4\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{5} - 4\)
المقام :\((4\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 16\times 5 - 16 = 64\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 5)(4\sqrt{5} - 4)\)
\(= 4\sqrt{55} - 4\sqrt{11} - 20\sqrt{5} + 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{5} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{55} - 4\sqrt{11} - 20\sqrt{5} + 20}{64}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{55} - \sqrt{11} - 5\sqrt{5} + 5}{16}\)
\(\dfrac{\sqrt{55} - \sqrt{11} - 5\sqrt{5} + 5}{16}\)
\(4\sqrt{50} + \dfrac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{50} = 4\sqrt{5^{2}\times 2} = 4\times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((4\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 4) = -13\sqrt{2} - 4\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{13\sqrt{2} + 4}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} + \left(\dfrac{13\sqrt{2} + 4}{14}\right) = \dfrac{293\sqrt{2} + 4}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{293\sqrt{2} + 4}{14}\)
\(\dfrac{293\sqrt{2} + 4}{14}\)
\(5\sqrt{44} - \dfrac{5\sqrt{11} - 2}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{44} = 5\sqrt{2^{2}\times 11} = 5\times 2\sqrt{11} = 10\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\((5\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} - 4) = -22\sqrt{11} + 63\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 2}{\sqrt{11} + 4} = \dfrac{22\sqrt{11} - 63}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{11} - \left(\dfrac{22\sqrt{11} - 63}{5}\right) = \dfrac{28\sqrt{11} + 63}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{28\sqrt{11} + 63}{5}\)
\(\dfrac{28\sqrt{11} + 63}{5}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{2(\sqrt{13} - 3)}{(\sqrt{13} + 3)(\sqrt{13} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\(2(\sqrt{13} - 3) = 2\sqrt{13} - 6\)
\(= \dfrac{2\sqrt{13} - 6}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{13} - 3}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 3}{2}\)
\(3\sqrt{8} + \dfrac{2\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{8} = 3\sqrt{2^{2}\times 2} = 3\times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\((2\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} - 3) = -11\sqrt{2} + 19\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{11\sqrt{2} - 19}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{2} + \left(\dfrac{11\sqrt{2} - 19}{7}\right) = \dfrac{53\sqrt{2} - 19}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{53\sqrt{2} - 19}{7}\)
\(\dfrac{53\sqrt{2} - 19}{7}\)
\(2\sqrt{28} - \dfrac{4\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{28} = 2\sqrt{2^{2}\times 7} = 2\times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((4\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} - 4) = -20\sqrt{7} + 44\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{20\sqrt{7} - 44}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{7} - \left(\dfrac{20\sqrt{7} - 44}{9}\right) = \dfrac{16\sqrt{7} + 44}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{16\sqrt{7} + 44}{9}\)
\(\dfrac{16\sqrt{7} + 44}{9}\)
\(4\sqrt{176} - \dfrac{\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{176} = 4\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\times 4\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 2) = 4\sqrt{11} - 1\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{4\sqrt{11} - 1}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{11} - \left(\dfrac{4\sqrt{11} - 1}{7}\right) = \dfrac{108\sqrt{11} + 1}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{108\sqrt{11} + 1}{7}\)
\(\dfrac{108\sqrt{11} + 1}{7}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 6}{2\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} + 4\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 4\times 7 - 16 = 12\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} + 6)(2\sqrt{7} + 4)\)
\(= 6\sqrt{91} + 12\sqrt{13} + 12\sqrt{7} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{7} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{91} + 12\sqrt{13} + 12\sqrt{7} + 24}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{91} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{7} + 4}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{91} + 2\sqrt{13} + 2\sqrt{7} + 4}{2}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{8(\sqrt{11} - 2)}{(\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\(8(\sqrt{11} - 2) = 8\sqrt{11} - 16\)
\(= \dfrac{8\sqrt{11} - 16}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{11} - 16}{7}\)
\(\dfrac{8\sqrt{11} - 16}{7}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} - 2} = \dfrac{7(\sqrt{2} + 2)}{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(7(\sqrt{2} + 2) = 7\sqrt{2} + 14\)
\(= \dfrac{7\sqrt{2} + 14}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{2} - 14}{2}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{2} - 14}{2}\)
\(4\sqrt{50} + \dfrac{4\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{50} = 4\sqrt{5^{2}\times 2} = 4\times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\((4\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 3\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} + 3\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} + \left(\sqrt{2} + 3\right) = 21\sqrt{2} + 3\)
النتيجة النهائية :\(= 21\sqrt{2} + 3\)
\(21\sqrt{2} + 3\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 6\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} + 6} = \dfrac{4(\sqrt{11} - 6)}{(\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(4(\sqrt{11} - 6) = 4\sqrt{11} - 24\)
\(= \dfrac{4\sqrt{11} - 24}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{11} + 24}{25}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{11} + 24}{25}\)