\(4\sqrt{12} + \dfrac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{12} = 4\sqrt{2^{2}\times 3} = 4\times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} - 5) = -8\sqrt{3} + 18\)
\(\dfrac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{4\sqrt{3} - 9}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{3} + \left(\dfrac{4\sqrt{3} - 9}{11}\right) = \dfrac{92\sqrt{3} - 9}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{92\sqrt{3} - 9}{11}\)
\(\dfrac{92\sqrt{3} - 9}{11}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 6}{2\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} + 4\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 4\times 13 - 16 = 36\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{11} - 6)(2\sqrt{13} + 4)\)
\(= 6\sqrt{143} + 12\sqrt{11} - 12\sqrt{13} - 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{13} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{143} + 12\sqrt{11} - 12\sqrt{13} - 24}{36}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{143} + 2\sqrt{11} - 2\sqrt{13} - 4}{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{143} + 2\sqrt{11} - 2\sqrt{13} - 4}{6}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 1}{2\sqrt{11} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 4\times 11 - 1 = 43\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} - 1)(2\sqrt{11} + 1)\)
\(= 6\sqrt{143} + 3\sqrt{13} - 2\sqrt{11} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{11} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{143} + 3\sqrt{13} - 2\sqrt{11} - 1}{43}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{143} + 3\sqrt{13} - 2\sqrt{11} - 1}{43}\)
\(\dfrac{6\sqrt{143} + 3\sqrt{13} - 2\sqrt{11} - 1}{43}\)
\(3\sqrt{28} + \dfrac{2\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{28} = 3\sqrt{2^{2}\times 7} = 3\times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((2\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = -2\sqrt{7} + 10\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{-2\sqrt{7} + 10}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{7} + \left(\dfrac{-2\sqrt{7} + 10}{3}\right) = \dfrac{16\sqrt{7} + 10}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{16\sqrt{7} + 10}{3}\)
\(\dfrac{16\sqrt{7} + 10}{3}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{6(\sqrt{11} - 5)}{(\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(6(\sqrt{11} - 5) = 6\sqrt{11} - 30\)
\(= \dfrac{6\sqrt{11} - 30}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{11} + 15}{7}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{11} + 15}{7}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} - 4} = \dfrac{4(\sqrt{13} + 4)}{(\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(4(\sqrt{13} + 4) = 4\sqrt{13} + 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{13} + 16}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 6}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 1\times 13 - 1 = 12\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} - 6)(\sqrt{13} + 1)\)
\(= 4\sqrt{91} + 4\sqrt{7} - 6\sqrt{13} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{13} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{91} + 4\sqrt{7} - 6\sqrt{13} - 6}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{91} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{13} - 3}{6}\)
\(\dfrac{2\sqrt{91} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{13} - 3}{6}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 3\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 3} = \dfrac{1(\sqrt{13} + 3)}{(\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\(1(\sqrt{13} + 3) = \sqrt{13} + 3\)
\(= \dfrac{\sqrt{13} + 3}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{13} + 3}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 3}{4}\)
\(2\sqrt{48} - \dfrac{2\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{48} = 2\sqrt{4^{2}\times 3} = 2\times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\((2\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} - 3) = -11\sqrt{3} + 21\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{11\sqrt{3} - 21}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{3} - \left(\dfrac{11\sqrt{3} - 21}{6}\right) = \dfrac{37\sqrt{3} + 21}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{37\sqrt{3} + 21}{6}\)
\(\dfrac{37\sqrt{3} + 21}{6}\)
\(4\sqrt{50} + \dfrac{\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{50} = 4\sqrt{5^{2}\times 2} = 4\times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\((\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 5) = -2\sqrt{2} - 13\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{2\sqrt{2} + 13}{23}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{2} + \left(\dfrac{2\sqrt{2} + 13}{23}\right) = \dfrac{462\sqrt{2} + 13}{23}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{462\sqrt{2} + 13}{23}\)
\(\dfrac{462\sqrt{2} + 13}{23}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{2} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 1\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{5(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(5(\sqrt{2} + 1) = 5\sqrt{2} + 5\)
\(= 5\sqrt{2} + 5\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 5\sqrt{2} + 5\)
\(5\sqrt{2} + 5\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 4}{3\sqrt{5} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{5} + 5\)
المقام :\((3\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 9\times 5 - 25 = 20\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 4)(3\sqrt{5} + 5)\)
\(= 3\sqrt{55} + 5\sqrt{11} + 12\sqrt{5} + 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{5} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{55} + 5\sqrt{11} + 12\sqrt{5} + 20}{20}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{55} + 5\sqrt{11} + 12\sqrt{5} + 20}{20}\)
\(\dfrac{3\sqrt{55} + 5\sqrt{11} + 12\sqrt{5} + 20}{20}\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 1}{2\sqrt{5} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{5} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 4\times 5 - 1 = 19\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{13} - 1)(2\sqrt{5} + 1)\)
\(= 10\sqrt{65} + 5\sqrt{13} - 2\sqrt{5} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{5} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{65} + 5\sqrt{13} - 2\sqrt{5} - 1}{19}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{10\sqrt{65} + 5\sqrt{13} - 2\sqrt{5} - 1}{19}\)
\(\dfrac{10\sqrt{65} + 5\sqrt{13} - 2\sqrt{5} - 1}{19}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 2\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} + 2} = \dfrac{8(\sqrt{13} - 2)}{(\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\(8(\sqrt{13} - 2) = 8\sqrt{13} - 16\)
\(= \dfrac{8\sqrt{13} - 16}{9}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{13} - 16}{9}\)
\(\dfrac{8\sqrt{13} - 16}{9}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 1} = \dfrac{7(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\(7(\sqrt{7} + 1) = 7\sqrt{7} + 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{7} + 7}{6}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{7} + 7}{6}\)
\(\dfrac{7\sqrt{7} + 7}{6}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 1}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 1\times 13 - 1 = 12\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{3} - 1)(\sqrt{13} + 1)\)
\(= 2\sqrt{39} + 2\sqrt{3} - \sqrt{13} - 1\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{39} + 2\sqrt{3} - \sqrt{13} - 1}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{39} + 2\sqrt{3} - \sqrt{13} - 1}{12}\)
\(\dfrac{2\sqrt{39} + 2\sqrt{3} - \sqrt{13} - 1}{12}\)
\(4\sqrt{176} + \dfrac{\sqrt{11} + 1}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{176} = 4\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\times 4\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((\sqrt{11} + 1)(\sqrt{11} - 5) = -4\sqrt{11} + 6\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 1}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{2\sqrt{11} - 3}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{11} + \left(\dfrac{2\sqrt{11} - 3}{7}\right) = \dfrac{114\sqrt{11} - 3}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{114\sqrt{11} - 3}{7}\)
\(\dfrac{114\sqrt{11} - 3}{7}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 2}{4\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} - 2\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 16\times 7 - 4 = 108\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 2)(4\sqrt{7} - 2)\)
\(= 4\sqrt{35} - 2\sqrt{5} + 8\sqrt{7} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{7} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{35} - 2\sqrt{5} + 8\sqrt{7} - 4}{108}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{35} - \sqrt{5} + 4\sqrt{7} - 2}{54}\)
\(\dfrac{2\sqrt{35} - \sqrt{5} + 4\sqrt{7} - 2}{54}\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 3}{3\sqrt{3} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 9\times 3 - 4 = 23\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{11} + 3)(3\sqrt{3} + 2)\)
\(= 12\sqrt{33} + 8\sqrt{11} + 9\sqrt{3} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{33} + 8\sqrt{11} + 9\sqrt{3} + 6}{23}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{12\sqrt{33} + 8\sqrt{11} + 9\sqrt{3} + 6}{23}\)
\(\dfrac{12\sqrt{33} + 8\sqrt{11} + 9\sqrt{3} + 6}{23}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} - 6} = \dfrac{8(\sqrt{11} + 6)}{(\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(8(\sqrt{11} + 6) = 8\sqrt{11} + 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{11} + 48}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{11} - 48}{25}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{11} - 48}{25}\)