\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 2} = \dfrac{7(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{5} - 2) = 7\sqrt{5} - 14\)
\(= 7\sqrt{5} - 14\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{5} - 14\)
\(7\sqrt{5} - 14\)
\(3\sqrt{63} + \dfrac{4\sqrt{7} - 6}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{63} = 3\sqrt{3^{2}\times 7} = 3\times 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((4\sqrt{7} - 6)(\sqrt{7} - 4) = -22\sqrt{7} + 52\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 6}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{22\sqrt{7} - 52}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{7} + \left(\dfrac{22\sqrt{7} - 52}{9}\right) = \dfrac{103\sqrt{7} - 52}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{103\sqrt{7} - 52}{9}\)
\(\dfrac{103\sqrt{7} - 52}{9}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{3} - 3} = \dfrac{5(\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(5(\sqrt{3} + 3) = 5\sqrt{3} + 15\)
\(= \dfrac{5\sqrt{3} + 15}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{3} - 15}{6}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{3} - 15}{6}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 2}{3\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} - 3\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 9\times 2 - 9 = 9\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} - 2)(3\sqrt{2} - 3)\)
\(= 12\sqrt{6} - 12\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{6} - 12\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 6}{9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 2}{3}\)
\(\dfrac{4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 2}{3}\)
\(2\sqrt{48} + \dfrac{4\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{48} = 2\sqrt{4^{2}\times 3} = 2\times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((4\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4) = -11\sqrt{3} - 8\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{11\sqrt{3} + 8}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{3} + \left(\dfrac{11\sqrt{3} + 8}{13}\right) = \dfrac{115\sqrt{3} + 8}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{115\sqrt{3} + 8}{13}\)
\(\dfrac{115\sqrt{3} + 8}{13}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 1\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} - 1} = \dfrac{3(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\(3(\sqrt{7} + 1) = 3\sqrt{7} + 3\)
\(= \dfrac{3\sqrt{7} + 3}{6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{7} + 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 1}{2}\)
\(2\sqrt{18} - \dfrac{5\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{18} = 2\sqrt{3^{2}\times 2} = 2\times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((5\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 4) = -19\sqrt{2} + 6\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{19\sqrt{2} - 6}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{2} - \left(\dfrac{19\sqrt{2} - 6}{14}\right) = \dfrac{65\sqrt{2} + 6}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{65\sqrt{2} + 6}{14}\)
\(\dfrac{65\sqrt{2} + 6}{14}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 3}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 1\times 3 - 9 = -6\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{3} - 3)\)
\(= \sqrt{33} - 3\sqrt{11} - 3\sqrt{3} + 9\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{\sqrt{33} - 3\sqrt{11} - 3\sqrt{3} + 9}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{33} + 3\sqrt{11} + 3\sqrt{3} - 9}{6}\)
\(\dfrac{-\sqrt{33} + 3\sqrt{11} + 3\sqrt{3} - 9}{6}\)
\(3\sqrt{27} - \dfrac{4\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{27} = 3\sqrt{3^{2}\times 3} = 3\times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 2\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 3 - 4 = -1\)
البسط :\((4\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2) = -9\sqrt{3} + 14\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 2} = 9\sqrt{3} - 14\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{3} - \left(9\sqrt{3} - 14\right) = 14\)
النتيجة النهائية :\(= 14\)
\(14\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} - 4}{3\sqrt{3} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 6\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 9\times 3 - 36 = -9\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{13} - 4)(3\sqrt{3} + 6)\)
\(= 12\sqrt{39} + 24\sqrt{13} - 12\sqrt{3} - 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{3} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{39} + 24\sqrt{13} - 12\sqrt{3} - 24}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{39} - 8\sqrt{13} + 4\sqrt{3} + 8}{3}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{39} - 8\sqrt{13} + 4\sqrt{3} + 8}{3}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 4\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} - 4} = \dfrac{3(\sqrt{2} + 4)}{(\sqrt{2} - 4)(\sqrt{2} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\(3(\sqrt{2} + 4) = 3\sqrt{2} + 12\)
\(= \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{2} - 12}{14}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{2} - 12}{14}\)
\(3\sqrt{112} + \dfrac{5\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{112} = 3\sqrt{4^{2}\times 7} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 5\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 7 - 25 = -18\)
البسط :\((5\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} - 5) = -26\sqrt{7} + 40\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 5} = \dfrac{13\sqrt{7} - 20}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} + \left(\dfrac{13\sqrt{7} - 20}{9}\right) = \dfrac{121\sqrt{7} - 20}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{121\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(\dfrac{121\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(3\sqrt{80} + \dfrac{5\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{80} = 3\sqrt{4^{2}\times 5} = 3\times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((5\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 3) = -18\sqrt{5} + 34\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{9\sqrt{5} - 17}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{5} + \left(\dfrac{9\sqrt{5} - 17}{2}\right) = \dfrac{33\sqrt{5} - 17}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{33\sqrt{5} - 17}{2}\)
\(\dfrac{33\sqrt{5} - 17}{2}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 6}{\sqrt{13} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 6\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 1\times 13 - 36 = -23\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} + 6)(\sqrt{13} - 6)\)
\(= 4\sqrt{39} - 24\sqrt{3} + 6\sqrt{13} - 36\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{39} - 24\sqrt{3} + 6\sqrt{13} - 36}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{39} + 24\sqrt{3} - 6\sqrt{13} + 36}{23}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{39} + 24\sqrt{3} - 6\sqrt{13} + 36}{23}\)
\(2\sqrt{27} - \dfrac{3\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^{2}\times 3} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((3\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 4) = -10\sqrt{3} + 1\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{10\sqrt{3} - 1}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{3} - \left(\dfrac{10\sqrt{3} - 1}{13}\right) = \dfrac{68\sqrt{3} + 1}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{68\sqrt{3} + 1}{13}\)
\(\dfrac{68\sqrt{3} + 1}{13}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 2} = \dfrac{7(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\(7(\sqrt{7} + 2) = 7\sqrt{7} + 14\)
\(= \dfrac{7\sqrt{7} + 14}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{7} + 14}{3}\)
\(\dfrac{7\sqrt{7} + 14}{3}\)
\(2\sqrt{48} - \dfrac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{48} = 2\sqrt{4^{2}\times 3} = 2\times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 1\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\((\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} - 1) = -4\sqrt{3} + 6\)
\(\dfrac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 1} = -2\sqrt{3} + 3\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{3} - \left(-2\sqrt{3} + 3\right) = 10\sqrt{3} - 3\)
النتيجة النهائية :\(= 10\sqrt{3} - 3\)
\(10\sqrt{3} - 3\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} - 5}{2\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} + 6\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 4\times 7 - 36 = -8\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{13} - 5)(2\sqrt{7} + 6)\)
\(= 4\sqrt{91} + 12\sqrt{13} - 10\sqrt{7} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{7} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{91} + 12\sqrt{13} - 10\sqrt{7} - 30}{-8}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{91} - 6\sqrt{13} + 5\sqrt{7} + 15}{4}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{91} - 6\sqrt{13} + 5\sqrt{7} + 15}{4}\)
\(2\sqrt{28} - \dfrac{\sqrt{7} + 6}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{28} = 2\sqrt{2^{2}\times 7} = 2\times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 4) = 2\sqrt{7} - 17\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 6}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{-2\sqrt{7} + 17}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{7} - \left(\dfrac{-2\sqrt{7} + 17}{9}\right) = \dfrac{38\sqrt{7} - 17}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{38\sqrt{7} - 17}{9}\)
\(\dfrac{38\sqrt{7} - 17}{9}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{7} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{7} - 5} = \dfrac{2(\sqrt{7} + 5)}{(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 7 - 25 = -18\)
البسط :\(2(\sqrt{7} + 5) = 2\sqrt{7} + 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{7} + 10}{-18}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{7} - 5}{9}\)
\(\dfrac{-\sqrt{7} - 5}{9}\)