\(3\sqrt{175} + \dfrac{\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{175} = 3\sqrt{5^{2}\times 7} = 3\times 5\sqrt{7} = 15\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} - 1) = -4\sqrt{7} + 10\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{-2\sqrt{7} + 5}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{7} + \left(\dfrac{-2\sqrt{7} + 5}{3}\right) = \dfrac{43\sqrt{7} + 5}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{43\sqrt{7} + 5}{3}\)
\(\dfrac{43\sqrt{7} + 5}{3}\)
\(3\sqrt{275} + \dfrac{2\sqrt{11} + 3}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{275} = 3\sqrt{5^{2}\times 11} = 3\times 5\sqrt{11} = 15\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((2\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 2) = -\sqrt{11} + 16\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} + 3}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{-\sqrt{11} + 16}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{11} + \left(\dfrac{-\sqrt{11} + 16}{7}\right) = \dfrac{104\sqrt{11} + 16}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{104\sqrt{11} + 16}{7}\)
\(\dfrac{104\sqrt{11} + 16}{7}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{3} - 3} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(2(\sqrt{3} + 3) = 2\sqrt{3} + 6\)
\(= \dfrac{2\sqrt{3} + 6}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} - 3}{3}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} - 3}{3}\)
\(4\sqrt{80} + \dfrac{5\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{80} = 4\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 1) = -2\sqrt{5} + 22\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{-\sqrt{5} + 11}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{5} + \left(\dfrac{-\sqrt{5} + 11}{2}\right) = \dfrac{31\sqrt{5} + 11}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{31\sqrt{5} + 11}{2}\)
\(\dfrac{31\sqrt{5} + 11}{2}\)
\(5\sqrt{99} - \dfrac{3\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{99} = 5\sqrt{3^{2}\times 11} = 5\times 3\sqrt{11} = 15\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\((3\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 1) = -\sqrt{11} + 31\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{-\sqrt{11} + 31}{10}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{11} - \left(\dfrac{-\sqrt{11} + 31}{10}\right) = \dfrac{151\sqrt{11} - 31}{10}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{151\sqrt{11} - 31}{10}\)
\(\dfrac{151\sqrt{11} - 31}{10}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 4}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 1\times 13 - 1 = 12\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{11} - 4)(\sqrt{13} - 1)\)
\(= 3\sqrt{143} - 3\sqrt{11} - 4\sqrt{13} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{13} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{143} - 3\sqrt{11} - 4\sqrt{13} + 4}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{143} - 3\sqrt{11} - 4\sqrt{13} + 4}{12}\)
\(\dfrac{3\sqrt{143} - 3\sqrt{11} - 4\sqrt{13} + 4}{12}\)
\(3\sqrt{48} - \dfrac{5\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{48} = 3\sqrt{4^{2}\times 3} = 3\times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((5\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 5) = -23\sqrt{3} + 5\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{23\sqrt{3} - 5}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} - \left(\dfrac{23\sqrt{3} - 5}{22}\right) = \dfrac{241\sqrt{3} + 5}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{241\sqrt{3} + 5}{22}\)
\(\dfrac{241\sqrt{3} + 5}{22}\)
\(5\sqrt{80} - \dfrac{5\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{80} = 5\sqrt{4^{2}\times 5} = 5\times 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 1) = 20\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 1} = 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{5} - \left(5\right) = 20\sqrt{5} - 5\)
النتيجة النهائية :\(= 20\sqrt{5} - 5\)
\(20\sqrt{5} - 5\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{2\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} - 2\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 4\times 7 - 4 = 24\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} + 2)(2\sqrt{7} - 2)\)
\(= 6\sqrt{21} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{7} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{21} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{7} - 4}{24}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{21} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{7} - 2}{12}\)
\(\dfrac{3\sqrt{21} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{7} - 2}{12}\)
\(4\sqrt{27} + \dfrac{3\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{27} = 4\sqrt{3^{2}\times 3} = 4\times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((3\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 5) = -12\sqrt{3} - 6\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{6\sqrt{3} + 3}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} + \left(\dfrac{6\sqrt{3} + 3}{11}\right) = \dfrac{138\sqrt{3} + 3}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{138\sqrt{3} + 3}{11}\)
\(\dfrac{138\sqrt{3} + 3}{11}\)
\(4\sqrt{275} + \dfrac{4\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{275} = 4\sqrt{5^{2}\times 11} = 4\times 5\sqrt{11} = 20\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 4\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 4^{2} = 11 - 16 = -5\)
البسط :\((4\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 4) = -14\sqrt{11} + 36\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 2}{\sqrt{11} + 4} = \dfrac{14\sqrt{11} - 36}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{11} + \left(\dfrac{14\sqrt{11} - 36}{5}\right) = \dfrac{114\sqrt{11} - 36}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{114\sqrt{11} - 36}{5}\)
\(\dfrac{114\sqrt{11} - 36}{5}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{3(\sqrt{13} - 5)}{(\sqrt{13} + 5)(\sqrt{13} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\(3(\sqrt{13} - 5) = 3\sqrt{13} - 15\)
\(= \dfrac{3\sqrt{13} - 15}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} + 5}{4}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} + 5}{4}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 6\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{11} - 6} = \dfrac{4(\sqrt{11} + 6)}{(\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 11 - 36 = -25\)
البسط :\(4(\sqrt{11} + 6) = 4\sqrt{11} + 24\)
\(= \dfrac{4\sqrt{11} + 24}{-25}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{11} - 24}{25}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{11} - 24}{25}\)
\(4\sqrt{75} - \dfrac{2\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{75} = 4\sqrt{5^{2}\times 3} = 4\times 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 1\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 6)(\sqrt{3} - 1) = 4\sqrt{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 6}{\sqrt{3} + 1} = 2\sqrt{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{3} - \left(2\sqrt{3}\right) = 18\sqrt{3}\)
النتيجة النهائية :\(= 18\sqrt{3}\)
\(18\sqrt{3}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{3(\sqrt{11} - 2)}{(\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\(3(\sqrt{11} - 2) = 3\sqrt{11} - 6\)
\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 6}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 6}{7}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 6}{7}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{11} + 3} = \dfrac{1(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\(1(\sqrt{11} - 3) = \sqrt{11} - 3\)
\(= \dfrac{\sqrt{11} - 3}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{11} - 3}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 3}{2}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{1(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(1(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} - 1\)
\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}\)
\(4\sqrt{48} - \dfrac{5\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{48} = 4\sqrt{4^{2}\times 3} = 4\times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((5\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} - 5) = -30\sqrt{3} + 40\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{15\sqrt{3} - 20}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{3} - \left(\dfrac{15\sqrt{3} - 20}{11}\right) = \dfrac{161\sqrt{3} + 20}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{161\sqrt{3} + 20}{11}\)
\(\dfrac{161\sqrt{3} + 20}{11}\)
\(\dfrac{4\sqrt{13} + 6}{\sqrt{5} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 5\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 1\times 5 - 25 = -20\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{13} + 6)(\sqrt{5} + 5)\)
\(= 4\sqrt{65} + 20\sqrt{13} + 6\sqrt{5} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{5} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{65} + 20\sqrt{13} + 6\sqrt{5} + 30}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{65} - 10\sqrt{13} - 3\sqrt{5} - 15}{10}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{65} - 10\sqrt{13} - 3\sqrt{5} - 15}{10}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 6\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 6} = \dfrac{1(\sqrt{13} + 6)}{(\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 13 - 36 = -23\)
البسط :\(1(\sqrt{13} + 6) = \sqrt{13} + 6\)
\(= \dfrac{\sqrt{13} + 6}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} - 6}{23}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} - 6}{23}\)