\(4\sqrt{325} + \dfrac{3\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((3\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} - 1) = -7\sqrt{13} + 43\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-7\sqrt{13} + 43}{12}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} + \left(\dfrac{-7\sqrt{13} + 43}{12}\right) = \dfrac{233\sqrt{13} + 43}{12}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{233\sqrt{13} + 43}{12}\)
\(\dfrac{233\sqrt{13} + 43}{12}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{1(\sqrt{2} - 4)}{(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\(1(\sqrt{2} - 4) = \sqrt{2} - 4\)
\(= \dfrac{\sqrt{2} - 4}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{2} + 4}{14}\)
\(\dfrac{-\sqrt{2} + 4}{14}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 1\times 11 - 9 = 2\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} - 3)(\sqrt{11} - 3)\)
\(= \sqrt{22} - 3\sqrt{2} - 3\sqrt{11} + 9\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{\sqrt{22} - 3\sqrt{2} - 3\sqrt{11} + 9}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{22} - 3\sqrt{2} - 3\sqrt{11} + 9}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{22} - 3\sqrt{2} - 3\sqrt{11} + 9}{2}\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} - 4}{2\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} - 6\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 4\times 11 - 36 = 8\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{2} - 4)(2\sqrt{11} - 6)\)
\(= 10\sqrt{22} - 30\sqrt{2} - 8\sqrt{11} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{22} - 30\sqrt{2} - 8\sqrt{11} + 24}{8}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{22} - 15\sqrt{2} - 4\sqrt{11} + 12}{4}\)
\(\dfrac{5\sqrt{22} - 15\sqrt{2} - 4\sqrt{11} + 12}{4}\)
\(4\sqrt{176} + \dfrac{5\sqrt{11} + 5}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{176} = 4\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\times 4\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\((5\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 3) = -10\sqrt{11} + 40\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 5}{\sqrt{11} + 3} = -5\sqrt{11} + 20\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{11} + \left(-5\sqrt{11} + 20\right) = 11\sqrt{11} + 20\)
النتيجة النهائية :\(= 11\sqrt{11} + 20\)
\(11\sqrt{11} + 20\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 6}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 1\times 5 - 16 = -11\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 6)(\sqrt{5} - 4)\)
\(= 2\sqrt{10} - 8\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{10} - 8\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 24}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{10} + 8\sqrt{2} - 6\sqrt{5} + 24}{11}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{10} + 8\sqrt{2} - 6\sqrt{5} + 24}{11}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 3}{4\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{13} - 1\)
المقام :\((4\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 16\times 13 - 1 = 207\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 3)(4\sqrt{13} - 1)\)
\(= 8\sqrt{91} - 2\sqrt{7} - 12\sqrt{13} + 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{13} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{91} - 2\sqrt{7} - 12\sqrt{13} + 3}{207}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{91} - 2\sqrt{7} - 12\sqrt{13} + 3}{207}\)
\(\dfrac{8\sqrt{91} - 2\sqrt{7} - 12\sqrt{13} + 3}{207}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 3}{3\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{11} - 5\)
المقام :\((3\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 9\times 11 - 25 = 74\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} - 3)(3\sqrt{11} - 5)\)
\(= 9\sqrt{143} - 15\sqrt{13} - 9\sqrt{11} + 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{11} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{143} - 15\sqrt{13} - 9\sqrt{11} + 15}{74}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{9\sqrt{143} - 15\sqrt{13} - 9\sqrt{11} + 15}{74}\)
\(\dfrac{9\sqrt{143} - 15\sqrt{13} - 9\sqrt{11} + 15}{74}\)
\(5\sqrt{18} - \dfrac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{18} = 5\sqrt{3^{2}\times 2} = 5\times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\((4\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 3) = -9\sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{9\sqrt{2} + 1}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{2} - \left(\dfrac{9\sqrt{2} + 1}{7}\right) = \dfrac{96\sqrt{2} - 1}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{96\sqrt{2} - 1}{7}\)
\(\dfrac{96\sqrt{2} - 1}{7}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 1}{3\sqrt{3} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 9\times 3 - 4 = 23\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} - 1)(3\sqrt{3} + 2)\)
\(= 15\sqrt{33} + 10\sqrt{11} - 3\sqrt{3} - 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{15\sqrt{33} + 10\sqrt{11} - 3\sqrt{3} - 2}{23}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{15\sqrt{33} + 10\sqrt{11} - 3\sqrt{3} - 2}{23}\)
\(\dfrac{15\sqrt{33} + 10\sqrt{11} - 3\sqrt{3} - 2}{23}\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} + 3}{2\sqrt{7} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} + 1\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 4\times 7 - 1 = 27\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{11} + 3)(2\sqrt{7} + 1)\)
\(= 4\sqrt{77} + 2\sqrt{11} + 6\sqrt{7} + 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{77} + 2\sqrt{11} + 6\sqrt{7} + 3}{27}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{77} + 2\sqrt{11} + 6\sqrt{7} + 3}{27}\)
\(\dfrac{4\sqrt{77} + 2\sqrt{11} + 6\sqrt{7} + 3}{27}\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} - 2}{2\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} - 5\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 4\times 11 - 25 = 19\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{2} - 2)(2\sqrt{11} - 5)\)
\(= 10\sqrt{22} - 25\sqrt{2} - 4\sqrt{11} + 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{22} - 25\sqrt{2} - 4\sqrt{11} + 10}{19}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{10\sqrt{22} - 25\sqrt{2} - 4\sqrt{11} + 10}{19}\)
\(\dfrac{10\sqrt{22} - 25\sqrt{2} - 4\sqrt{11} + 10}{19}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 6}{3\sqrt{13} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 9\times 13 - 4 = 113\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} + 6)(3\sqrt{13} + 2)\)
\(= 12\sqrt{39} + 8\sqrt{3} + 18\sqrt{13} + 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{39} + 8\sqrt{3} + 18\sqrt{13} + 12}{113}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{12\sqrt{39} + 8\sqrt{3} + 18\sqrt{13} + 12}{113}\)
\(\dfrac{12\sqrt{39} + 8\sqrt{3} + 18\sqrt{13} + 12}{113}\)
\(5\sqrt{175} + \dfrac{\sqrt{7} - 6}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{175} = 5\sqrt{5^{2}\times 7} = 5\times 5\sqrt{7} = 25\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((\sqrt{7} - 6)(\sqrt{7} - 2) = -8\sqrt{7} + 19\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 6}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{-8\sqrt{7} + 19}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{7} + \left(\dfrac{-8\sqrt{7} + 19}{3}\right) = \dfrac{67\sqrt{7} + 19}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{67\sqrt{7} + 19}{3}\)
\(\dfrac{67\sqrt{7} + 19}{3}\)
\(4\sqrt{208} - \dfrac{5\sqrt{13} + 5}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{208} = 4\sqrt{4^{2}\times 13} = 4\times 4\sqrt{13} = 16\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\((5\sqrt{13} + 5)(\sqrt{13} - 4) = -15\sqrt{13} + 45\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} + 5}{\sqrt{13} + 4} = 5\sqrt{13} - 15\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{13} - \left(5\sqrt{13} - 15\right) = 11\sqrt{13} + 15\)
النتيجة النهائية :\(= 11\sqrt{13} + 15\)
\(11\sqrt{13} + 15\)
\(3\sqrt{12} + \dfrac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{12} = 3\sqrt{2^{2}\times 3} = 3\times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 5) = -9\sqrt{3} + 1\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{9\sqrt{3} - 1}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{3} + \left(\dfrac{9\sqrt{3} - 1}{22}\right) = \dfrac{141\sqrt{3} - 1}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{141\sqrt{3} - 1}{22}\)
\(\dfrac{141\sqrt{3} - 1}{22}\)
\(4\sqrt{176} + \dfrac{5\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{176} = 4\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\times 4\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\((5\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} - 1) = -11\sqrt{11} + 61\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{-11\sqrt{11} + 61}{10}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{11} + \left(\dfrac{-11\sqrt{11} + 61}{10}\right) = \dfrac{149\sqrt{11} + 61}{10}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{149\sqrt{11} + 61}{10}\)
\(\dfrac{149\sqrt{11} + 61}{10}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 2}{4\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} + 6\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 16\times 7 - 36 = 76\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} - 2)(4\sqrt{7} + 6)\)
\(= 20\sqrt{77} + 30\sqrt{11} - 8\sqrt{7} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{77} + 30\sqrt{11} - 8\sqrt{7} - 12}{76}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{10\sqrt{77} + 15\sqrt{11} - 4\sqrt{7} - 6}{38}\)
\(\dfrac{10\sqrt{77} + 15\sqrt{11} - 4\sqrt{7} - 6}{38}\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 4}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 1\times 5 - 9 = -4\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{2} + 4)(\sqrt{5} - 3)\)
\(= 5\sqrt{10} - 15\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{10} - 15\sqrt{2} + 4\sqrt{5} - 12}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{10} + 15\sqrt{2} - 4\sqrt{5} + 12}{4}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{10} + 15\sqrt{2} - 4\sqrt{5} + 12}{4}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{13} - 1} = \dfrac{5(\sqrt{13} + 1)}{(\sqrt{13} - 1)(\sqrt{13} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(5(\sqrt{13} + 1) = 5\sqrt{13} + 5\)
\(= \dfrac{5\sqrt{13} + 5}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{13} + 5}{12}\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} + 5}{12}\)