\((\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{13} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (\sqrt{13})^{2} = 1^{2}\times 13 = 13\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1) = 13 - 1 = 12\)
\(12\)
\(\sqrt{108} + 4\sqrt{396} + 3\sqrt{108} + 3\sqrt{12}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{396} = 4\times 6\sqrt{11} = 24\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{108} = 18\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{12} = 6\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((6 + 18 + 6)\sqrt{3} = 30\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(24\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{108} + 4\sqrt{396} + 3\sqrt{108} + 3\sqrt{12} = 30\sqrt{3} + 24\sqrt{11}\)
\(30\sqrt{3} + 24\sqrt{11}\)
\((3\sqrt{7} + 2)(3\sqrt{7} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{7} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (3\sqrt{7})^{2} = 3^{2}\times 7 = 63\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((3\sqrt{7} + 2)(3\sqrt{7} - 2) = 63 - 4 = 59\)
\(59\)
\(\sqrt{245} - \sqrt{176} - 2\sqrt{125} - \sqrt{20}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{245} = 7\sqrt{5}\)
\(\sqrt{176} = \times 4\sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{125} = 10\sqrt{5}\)
\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((7 - 10 - 2)\sqrt{5} = -5\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-4\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{245} - \sqrt{176} - 2\sqrt{125} - \sqrt{20} = -5\sqrt{5} - 4\sqrt{11}\)
\(-5\sqrt{5} - 4\sqrt{11}\)
\((\sqrt{3} + 7)(\sqrt{3} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{3} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 1^{2}\times 3 = 3\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((\sqrt{3} + 7)(\sqrt{3} - 7) = 3 - 49 = -46\)
\(-46\)
\((5\sqrt{7} + 6)(5\sqrt{7} - 6)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{7} \quad ; \quad y = 6\)
\(x^{2} = (5\sqrt{7})^{2} = 5^{2}\times 7 = 175\)
\(y^{2} = 6^{2} = 36\)
إذن :\((5\sqrt{7} + 6)(5\sqrt{7} - 6) = 175 - 36 = 139\)
\(139\)
\((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{3} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 1^{2}\times 3 = 3\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2\)
\(2\)
\((5\sqrt{3} + 7)(5\sqrt{3} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{3} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (5\sqrt{3})^{2} = 5^{2}\times 3 = 75\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((5\sqrt{3} + 7)(5\sqrt{3} - 7) = 75 - 49 = 26\)
\(26\)
\(\sqrt{325} - 4\sqrt{63} + 3\sqrt{208} - 2\sqrt{468}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{325} = 5\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{63} = 4\times 3\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{208} = 12\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{468} = 12\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((5 + 12 - 12)\sqrt{13} = 5\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{325} - 4\sqrt{63} + 3\sqrt{208} - 2\sqrt{468} = 5\sqrt{13} - 12\sqrt{7}\)
\(5\sqrt{13} - 12\sqrt{7}\)
\(\sqrt{20} + \sqrt{72} + 4\sqrt{45} + \sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{72} = \times 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{45} = 12\sqrt{5}\)
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((2 + 12 + 4)\sqrt{5} = 18\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{20} + \sqrt{72} + 4\sqrt{45} + \sqrt{80} = 18\sqrt{5} + 6\sqrt{2}\)
\(18\sqrt{5} + 6\sqrt{2}\)
\((2\sqrt{2} + 4)(2\sqrt{2} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{2} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (2\sqrt{2})^{2} = 2^{2}\times 2 = 8\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((2\sqrt{2} + 4)(2\sqrt{2} - 4) = 8 - 16 = -8\)
\(-8\)
\((4\sqrt{5} + 2)(4\sqrt{5} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{5} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (4\sqrt{5})^{2} = 4^{2}\times 5 = 80\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((4\sqrt{5} + 2)(4\sqrt{5} - 2) = 80 - 4 = 76\)
\(76\)
\((2\sqrt{7} + 4)(2\sqrt{7} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{7} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (2\sqrt{7})^{2} = 2^{2}\times 7 = 28\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((2\sqrt{7} + 4)(2\sqrt{7} - 4) = 28 - 16 = 12\)
\(12\)
\(\sqrt{396} + 4\sqrt{18} + \sqrt{99} + \sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{396} = 6\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{18} = 4\times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
\(\sqrt{99} = 3\sqrt{11}\)
\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((6 + 3 + 4)\sqrt{11} = 13\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{396} + 4\sqrt{18} + \sqrt{99} + \sqrt{176} = 13\sqrt{11} + 12\sqrt{2}\)
\(13\sqrt{11} + 12\sqrt{2}\)
\((2\sqrt{7} + 4)(2\sqrt{7} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{7} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (2\sqrt{7})^{2} = 2^{2}\times 7 = 28\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((2\sqrt{7} + 4)(2\sqrt{7} - 4) = 28 - 16 = 12\)
\(12\)
\((4\sqrt{2} + 3)(4\sqrt{2} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{2} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (4\sqrt{2})^{2} = 4^{2}\times 2 = 32\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((4\sqrt{2} + 3)(4\sqrt{2} - 3) = 32 - 9 = 23\)
\(23\)
\(\sqrt{20} + 3\sqrt{48} + 2\sqrt{20} + 4\sqrt{125}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{48} = 3\times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{20} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{125} = 20\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((2 + 4 + 20)\sqrt{5} = 26\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{20} + 3\sqrt{48} + 2\sqrt{20} + 4\sqrt{125} = 26\sqrt{5} + 12\sqrt{3}\)
\(26\sqrt{5} + 12\sqrt{3}\)
\(\sqrt{45} + 3\sqrt{208} - \sqrt{20} + 4\sqrt{180}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{208} = 3\times 4\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{180} = 24\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((3 - 2 + 24)\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{45} + 3\sqrt{208} - \sqrt{20} + 4\sqrt{180} = 25\sqrt{5} + 12\sqrt{13}\)
\(25\sqrt{5} + 12\sqrt{13}\)
\(\sqrt{45} + 3\sqrt{44} - 2\sqrt{45} + 2\sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{44} = 3\times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{45} = 6\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{80} = 8\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((3 - 6 + 8)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{45} + 3\sqrt{44} - 2\sqrt{45} + 2\sqrt{80} = 5\sqrt{5} + 6\sqrt{11}\)
\(5\sqrt{5} + 6\sqrt{11}\)
\((5\sqrt{11} + 4)(5\sqrt{11} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{11} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (5\sqrt{11})^{2} = 5^{2}\times 11 = 275\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((5\sqrt{11} + 4)(5\sqrt{11} - 4) = 275 - 16 = 259\)
\(259\)