\(\sqrt{192}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(192 = 8^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 3} = 8\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{192} = 8\sqrt{3}\)
\(8\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{112} + \dfrac{3\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{112} = 5\sqrt{4^{2}\times 7} = 5\times 4\sqrt{7} = 20\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((3\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} - 3) = -10\sqrt{7} + 24\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 3} = 5\sqrt{7} - 12\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{7} + \left(5\sqrt{7} - 12\right) = 25\sqrt{7} - 12\)
النتيجة النهائية :\(= 25\sqrt{7} - 12\)
\(25\sqrt{7} - 12\)
\((4\sqrt{2} + 5)(4\sqrt{2} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{2} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (4\sqrt{2})^{2} = 4^{2}\times 2 = 32\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((4\sqrt{2} + 5)(4\sqrt{2} - 5) = 32 - 25 = 7\)
\(7\)
\(4\sqrt{208} - \dfrac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{208} = 4\sqrt{4^{2}\times 13} = 4\times 4\sqrt{13} = 16\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\((\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 2) = -7\sqrt{13} + 23\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 2} = \dfrac{-7\sqrt{13} + 23}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{13} - \left(\dfrac{-7\sqrt{13} + 23}{9}\right) = \dfrac{151\sqrt{13} - 23}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{151\sqrt{13} - 23}{9}\)
\(\dfrac{151\sqrt{13} - 23}{9}\)
\(\sqrt{32} + 2\sqrt{98}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{32} = \sqrt{4^{2}\times 2} = 4\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{98} = 2\times 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(4\sqrt{2} + 14\sqrt{2} = (4 + 14)\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\)
\(18\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{176} - \dfrac{4\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{176} = 4\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\times 4\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((4\sqrt{11} + 4)(\sqrt{11} - 5) = -16\sqrt{11} + 24\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{8\sqrt{11} - 12}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{11} - \left(\dfrac{8\sqrt{11} - 12}{7}\right) = \dfrac{104\sqrt{11} + 12}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{104\sqrt{11} + 12}{7}\)
\(\dfrac{104\sqrt{11} + 12}{7}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{6(\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(6(\sqrt{2} - 2) = 6\sqrt{2} - 12\)
\(= \dfrac{6\sqrt{2} - 12}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= -3\sqrt{2} + 6\)
\(-3\sqrt{2} + 6\)
\(\sqrt{539}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(539 = 7^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 11} = 7\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{539} = 7\sqrt{11}\)
\(7\sqrt{11}\)
\(\sqrt{243}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(243 = 9^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 3} = 9\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{243} = 9\sqrt{3}\)
\(9\sqrt{3}\)
\(\sqrt{176} + 4\sqrt{48} + 4\sqrt{539} - 4\sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{48} = 4\times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{539} = 28\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{176} = 16\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((4 + 28 - 16)\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(16\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{176} + 4\sqrt{48} + 4\sqrt{539} - 4\sqrt{176} = 16\sqrt{11} + 16\sqrt{3}\)
\(16\sqrt{11} + 16\sqrt{3}\)
\(\sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(80 = 4^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{18} + \dfrac{4\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{18} = 2\sqrt{3^{2}\times 2} = 2\times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((4\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 4) = -15\sqrt{2} + 4\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{15\sqrt{2} - 4}{14}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{2} + \left(\dfrac{15\sqrt{2} - 4}{14}\right) = \dfrac{99\sqrt{2} - 4}{14}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{99\sqrt{2} - 4}{14}\)
\(\dfrac{99\sqrt{2} - 4}{14}\)
\(\sqrt{325} - \sqrt{180} - \sqrt{468} - \sqrt{325}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{325} = 5\sqrt{13}\)
\(\sqrt{180} = \times 6\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{468} = 6\sqrt{13}\)
\(\sqrt{325} = 5\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((5 - 6 - 5)\sqrt{13} = -6\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-6\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{325} - \sqrt{180} - \sqrt{468} - \sqrt{325} = -6\sqrt{13} - 6\sqrt{5}\)
\(-6\sqrt{13} - 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{180}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(180 = 6^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 5} = 6\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5}\)
\((2\sqrt{11} + 1)(2\sqrt{11} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{11} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (2\sqrt{11})^{2} = 2^{2}\times 11 = 44\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((2\sqrt{11} + 1)(2\sqrt{11} - 1) = 44 - 1 = 43\)
\(43\)
\((5\sqrt{2} + 2)(5\sqrt{2} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{2} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (5\sqrt{2})^{2} = 5^{2}\times 2 = 50\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((5\sqrt{2} + 2)(5\sqrt{2} - 2) = 50 - 4 = 46\)
\(46\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 1}{3\sqrt{7} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{7} - 6\)
المقام :\((3\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 9\times 7 - 36 = 27\)
ننشر البسط :\((\sqrt{13} - 1)(3\sqrt{7} - 6)\)
\(= 3\sqrt{91} - 6\sqrt{13} - 3\sqrt{7} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{7} = \sqrt{91}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{91} - 6\sqrt{13} - 3\sqrt{7} + 6}{27}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{91} - 2\sqrt{13} - \sqrt{7} + 2}{9}\)
\(\dfrac{\sqrt{91} - 2\sqrt{13} - \sqrt{7} + 2}{9}\)
\(\sqrt{99} + 5\sqrt{704}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{99} = \sqrt{3^{2}\times 11} = 3\sqrt{11}\)
\(5\sqrt{704} = 5\times 8\sqrt{11} = 40\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{11} + 40\sqrt{11} = (3 + 40)\sqrt{11} = 43\sqrt{11}\)
\(43\sqrt{11}\)
\(\dfrac{\sqrt{3} - 6}{\sqrt{7} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 6\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 1\times 7 - 36 = -29\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} - 6)(\sqrt{7} - 6)\)
\(= \sqrt{21} - 6\sqrt{3} - 6\sqrt{7} + 36\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{\sqrt{21} - 6\sqrt{3} - 6\sqrt{7} + 36}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{21} + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{7} - 36}{29}\)
\(\dfrac{-\sqrt{21} + 6\sqrt{3} + 6\sqrt{7} - 36}{29}\)
\(\sqrt{539} + 2\sqrt{99}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{539} = \sqrt{7^{2}\times 11} = 7\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{99} = 2\times 3\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{11} + 6\sqrt{11} = (7 + 6)\sqrt{11} = 13\sqrt{11}\)
\(13\sqrt{11}\)