\(\sqrt{108} - 5\sqrt{108}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = \sqrt{6^{2}\times 3} = 6\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{108} = 5\times 6\sqrt{3} = 30\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(6\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = (6 - 30)\sqrt{3} = -24\sqrt{3}\)
\(-24\sqrt{3}\)
\(\sqrt{52}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(52 = 2^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{2^{2}\times 13} = 2\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{13}\)
\(\sqrt{12} + 2\sqrt{99} + \sqrt{12} + 3\sqrt{48}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{99} = 2\times 3\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{48} = 12\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((2 + 2 + 12)\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{12} + 2\sqrt{99} + \sqrt{12} + 3\sqrt{48} = 16\sqrt{3} + 6\sqrt{11}\)
\(16\sqrt{3} + 6\sqrt{11}\)
\(\sqrt{8} + \sqrt{128}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{8} = \sqrt{2^{2}\times 2} = 2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{128} = \times 8\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = (2 + 8)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
\(10\sqrt{2}\)
\(\sqrt{117} + \sqrt{72} - 4\sqrt{208} - 2\sqrt{468}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{117} = 3\sqrt{13}\)
\(\sqrt{72} = \times 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{208} = 16\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{468} = 12\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((3 - 16 - 12)\sqrt{13} = -25\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{117} + \sqrt{72} - 4\sqrt{208} - 2\sqrt{468} = -25\sqrt{13} + 6\sqrt{2}\)
\(-25\sqrt{13} + 6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{99}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(99 = 3^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{3^{2}\times 11} = 3\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{99} = 3\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{11}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 1\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{6(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(6(\sqrt{2} + 1) = 6\sqrt{2} + 6\)
\(= 6\sqrt{2} + 6\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 6\sqrt{2} + 6\)
\(6\sqrt{2} + 6\)
\(\sqrt{275} + \sqrt{99}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{275} = \sqrt{5^{2}\times 11} = 5\sqrt{11}\)
\(\sqrt{99} = \times 3\sqrt{11} = 3\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{11} + 3\sqrt{11} = (5 + 3)\sqrt{11} = 8\sqrt{11}\)
\(8\sqrt{11}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} - 1\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 4\times 13 - 1 = 51\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{13} - 1)\)
\(= 2\sqrt{26} - \sqrt{2} + 6\sqrt{13} - 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{13} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{26} - \sqrt{2} + 6\sqrt{13} - 3}{51}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{26} - \sqrt{2} + 6\sqrt{13} - 3}{51}\)
\(\dfrac{2\sqrt{26} - \sqrt{2} + 6\sqrt{13} - 3}{51}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 2}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 1\times 3 - 9 = -6\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 2)(\sqrt{3} - 3)\)
\(= 2\sqrt{21} - 6\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{21} - 6\sqrt{7} - 2\sqrt{3} + 6}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{21} + 3\sqrt{7} + \sqrt{3} - 3}{3}\)
\(\dfrac{-\sqrt{21} + 3\sqrt{7} + \sqrt{3} - 3}{3}\)
\(\sqrt{28} - 3\sqrt{175}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{28} = \sqrt{2^{2}\times 7} = 2\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{175} = 3\times 5\sqrt{7} = 15\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{7} - 15\sqrt{7} = (2 - 15)\sqrt{7} = -13\sqrt{7}\)
\(-13\sqrt{7}\)
\((4\sqrt{2} + 2)(4\sqrt{2} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{2} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (4\sqrt{2})^{2} = 4^{2}\times 2 = 32\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((4\sqrt{2} + 2)(4\sqrt{2} - 2) = 32 - 4 = 28\)
\(28\)
\(\sqrt{63} - 3\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{63} = \sqrt{3^{2}\times 7} = 3\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{252} = 3\times 6\sqrt{7} = 18\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{7} - 18\sqrt{7} = (3 - 18)\sqrt{7} = -15\sqrt{7}\)
\(-15\sqrt{7}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 1\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(2(\sqrt{5} + 1) = 2\sqrt{5} + 2\)
\(= \dfrac{2\sqrt{5} + 2}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}\)
\(\sqrt{320}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(320 = 8^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 5} = 8\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{320} = 8\sqrt{5}\)
\(8\sqrt{5}\)
\(\sqrt{50}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(50 = 5^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 2} = 5\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(252 = 6^{2}\times 7\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 7} = 6\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{252} = 6\sqrt{7}\)
\(6\sqrt{7}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 5\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 5} = \dfrac{7(\sqrt{5} - 5)}{(\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\(7(\sqrt{5} - 5) = 7\sqrt{5} - 35\)
\(= \dfrac{7\sqrt{5} - 35}{-20}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{5} + 35}{20}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{5} + 35}{20}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} - 4\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 4\times 13 - 16 = 36\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} - 2)(2\sqrt{13} - 4)\)
\(= 6\sqrt{39} - 12\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{39} - 12\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 8}{36}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{39} - 6\sqrt{3} - 2\sqrt{13} + 4}{18}\)
\(\dfrac{3\sqrt{39} - 6\sqrt{3} - 2\sqrt{13} + 4}{18}\)
\((\sqrt{5} + 4)(\sqrt{5} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{5} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 1^{2}\times 5 = 5\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((\sqrt{5} + 4)(\sqrt{5} - 4) = 5 - 16 = -11\)
\(-11\)