\(5\sqrt{8} + \dfrac{5\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{8} = 5\sqrt{2^{2}\times 2} = 5\times 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\((5\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 1) = 5\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 1} = 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{2} + \left(5\right) = 10\sqrt{2} + 5\)
النتيجة النهائية :\(= 10\sqrt{2} + 5\)
\(10\sqrt{2} + 5\)
\(4\sqrt{52} + \dfrac{3\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{52} = 4\sqrt{2^{2}\times 13} = 4\times 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((3\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 5) = -20\sqrt{13} + 64\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{5\sqrt{13} - 16}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{13} + \left(\dfrac{5\sqrt{13} - 16}{3}\right) = \dfrac{29\sqrt{13} - 16}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{29\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{29\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(2\sqrt{63} + \dfrac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{63} = 2\sqrt{3^{2}\times 7} = 2\times 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} - 4) = -9\sqrt{7} + 27\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 4} = \sqrt{7} - 3\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{7} + \left(\sqrt{7} - 3\right) = 7\sqrt{7} - 3\)
النتيجة النهائية :\(= 7\sqrt{7} - 3\)
\(7\sqrt{7} - 3\)
\(\sqrt{63} - 5\sqrt{175}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{63} = \sqrt{3^{2}\times 7} = 3\sqrt{7}\)
\(5\sqrt{175} = 5\times 5\sqrt{7} = 25\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{7} - 25\sqrt{7} = (3 - 25)\sqrt{7} = -22\sqrt{7}\)
\(-22\sqrt{7}\)
\((3\sqrt{2} + 5)(3\sqrt{2} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{2} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (3\sqrt{2})^{2} = 3^{2}\times 2 = 18\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((3\sqrt{2} + 5)(3\sqrt{2} - 5) = 18 - 25 = -7\)
\(-7\)
\(5\sqrt{12} - \dfrac{3\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{12} = 5\sqrt{2^{2}\times 3} = 5\times 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((3\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} - 4) = -17\sqrt{3} + 29\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{17\sqrt{3} - 29}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{3} - \left(\dfrac{17\sqrt{3} - 29}{13}\right) = \dfrac{113\sqrt{3} + 29}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{113\sqrt{3} + 29}{13}\)
\(\dfrac{113\sqrt{3} + 29}{13}\)
\((3\sqrt{5} + 3)(3\sqrt{5} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{5} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (3\sqrt{5})^{2} = 3^{2}\times 5 = 45\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((3\sqrt{5} + 3)(3\sqrt{5} - 3) = 45 - 9 = 36\)
\(36\)
\(\sqrt{32} + 2\sqrt{175} + 2\sqrt{50} + \sqrt{18}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{175} = 2\times 5\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{50} = 10\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((4 + 10 + 3)\sqrt{2} = 17\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(10\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{32} + 2\sqrt{175} + 2\sqrt{50} + \sqrt{18} = 17\sqrt{2} + 10\sqrt{7}\)
\(17\sqrt{2} + 10\sqrt{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} + 6}{3\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 5\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 9\times 3 - 25 = 2\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} + 6)(3\sqrt{3} + 5)\)
\(= 6\sqrt{21} + 10\sqrt{7} + 18\sqrt{3} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{21} + 10\sqrt{7} + 18\sqrt{3} + 30}{2}\)
نبسّط الكسر :\(= 3\sqrt{21} + 5\sqrt{7} + 9\sqrt{3} + 15\)
\(3\sqrt{21} + 5\sqrt{7} + 9\sqrt{3} + 15\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{2\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} + 2\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 4\times 2 - 4 = 4\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{2} + 2)\)
\(= 8\sqrt{6} + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{2} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{6} + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{2} - 6}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 3}{2}\)
\(\dfrac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 3}{2}\)
\(\sqrt{704} - \sqrt{539}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{704} = \sqrt{8^{2}\times 11} = 8\sqrt{11}\)
\(\sqrt{539} = \times 7\sqrt{11} = 7\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(8\sqrt{11} - 7\sqrt{11} = (8 - 7)\sqrt{11} = \sqrt{11}\)
\(\sqrt{11}\)
\(\sqrt{175} + 4\sqrt{448}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{175} = \sqrt{5^{2}\times 7} = 5\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{448} = 4\times 8\sqrt{7} = 32\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{7} + 32\sqrt{7} = (5 + 32)\sqrt{7} = 37\sqrt{7}\)
\(37\sqrt{7}\)
\(\sqrt{48}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(48 = 4^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 3} = 4\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} + 2\sqrt{27}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{75} = \sqrt{5^{2}\times 3} = 5\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{27} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = (5 + 6)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}\)
\(11\sqrt{3}\)
\((2\sqrt{13} + 7)(2\sqrt{13} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{13} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (2\sqrt{13})^{2} = 2^{2}\times 13 = 52\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((2\sqrt{13} + 7)(2\sqrt{13} - 7) = 52 - 49 = 3\)
\(3\)
\(\sqrt{125} - \sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{125} = \sqrt{5^{2}\times 5} = 5\sqrt{5}\)
\(\sqrt{80} = \times 4\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (5 - 4)\sqrt{5} = \sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\)
\(\sqrt{52} + 4\sqrt{112} + 4\sqrt{325} - 2\sqrt{325}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{112} = 4\times 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{325} = 20\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{325} = 10\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((2 + 20 - 10)\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(16\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{52} + 4\sqrt{112} + 4\sqrt{325} - 2\sqrt{325} = 12\sqrt{13} + 16\sqrt{7}\)
\(12\sqrt{13} + 16\sqrt{7}\)
\(\sqrt{832}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(832 = 8^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 13} = 8\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{832} = 8\sqrt{13}\)
\(8\sqrt{13}\)
\(\sqrt{44} - 4\sqrt{20} - 4\sqrt{396} + 2\sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = 2\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{20} = 4\times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{396} = 24\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{176} = 8\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((2 - 24 + 8)\sqrt{11} = -14\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-8\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{44} - 4\sqrt{20} - 4\sqrt{396} + 2\sqrt{176} = -14\sqrt{11} - 8\sqrt{5}\)
\(-14\sqrt{11} - 8\sqrt{5}\)
\((\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{5} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 1^{2}\times 5 = 5\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) = 5 - 9 = -4\)
\(-4\)