\(\sqrt{325} + \sqrt{75} - 4\sqrt{325} - 4\sqrt{117}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{325} = 5\sqrt{13}\)
\(\sqrt{75} = \times 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{325} = 20\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{117} = 12\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((5 - 20 - 12)\sqrt{13} = -27\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(5\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{325} + \sqrt{75} - 4\sqrt{325} - 4\sqrt{117} = -27\sqrt{13} + 5\sqrt{3}\)
\(-27\sqrt{13} + 5\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{28} + \dfrac{2\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{28} = 5\sqrt{2^{2}\times 7} = 5\times 2\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((2\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} - 3) = -10\sqrt{7} + 26\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 3} = 5\sqrt{7} - 13\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{7} + \left(5\sqrt{7} - 13\right) = 15\sqrt{7} - 13\)
النتيجة النهائية :\(= 15\sqrt{7} - 13\)
\(15\sqrt{7} - 13\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 5}{4\sqrt{11} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} - 6\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 6^{2} = 16\times 11 - 36 = 140\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} + 5)(4\sqrt{11} - 6)\)
\(= 20\sqrt{33} - 30\sqrt{3} + 20\sqrt{11} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{33} - 30\sqrt{3} + 20\sqrt{11} - 30}{140}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{33} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{11} - 3}{14}\)
\(\dfrac{2\sqrt{33} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{11} - 3}{14}\)
\(\sqrt{8} + 2\sqrt{72}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{8} = \sqrt{2^{2}\times 2} = 2\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{72} = 2\times 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = (2 + 12)\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\)
\(14\sqrt{2}\)
\((5\sqrt{13} + 8)(5\sqrt{13} - 8)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{13} \quad ; \quad y = 8\)
\(x^{2} = (5\sqrt{13})^{2} = 5^{2}\times 13 = 325\)
\(y^{2} = 8^{2} = 64\)
إذن :\((5\sqrt{13} + 8)(5\sqrt{13} - 8) = 325 - 64 = 261\)
\(261\)
\((3\sqrt{13} + 3)(3\sqrt{13} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{13} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (3\sqrt{13})^{2} = 3^{2}\times 13 = 117\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((3\sqrt{13} + 3)(3\sqrt{13} - 3) = 117 - 9 = 108\)
\(108\)
\((5\sqrt{3} + 4)(5\sqrt{3} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{3} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (5\sqrt{3})^{2} = 5^{2}\times 3 = 75\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((5\sqrt{3} + 4)(5\sqrt{3} - 4) = 75 - 16 = 59\)
\(59\)
\(\sqrt{175} + 2\sqrt{28}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{175} = \sqrt{5^{2}\times 7} = 5\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{28} = 2\times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{7} + 4\sqrt{7} = (5 + 4)\sqrt{7} = 9\sqrt{7}\)
\(9\sqrt{7}\)
\((5\sqrt{2} + 5)(5\sqrt{2} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{2} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (5\sqrt{2})^{2} = 5^{2}\times 2 = 50\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((5\sqrt{2} + 5)(5\sqrt{2} - 5) = 50 - 25 = 25\)
\(25\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 2}{3\sqrt{3} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 4\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 9\times 3 - 16 = 11\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 2)(3\sqrt{3} + 4)\)
\(= 6\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 8}{11}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 8}{11}\)
\(\dfrac{6\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 8}{11}\)
\(\sqrt{243}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(243 = 9^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 3} = 9\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{243} = 9\sqrt{3}\)
\(9\sqrt{3}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} + 5}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 1\times 11 - 4 = 7\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} + 5)(\sqrt{11} - 2)\)
\(= 2\sqrt{77} - 4\sqrt{7} + 5\sqrt{11} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{77} - 4\sqrt{7} + 5\sqrt{11} - 10}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{77} - 4\sqrt{7} + 5\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{77} - 4\sqrt{7} + 5\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\sqrt{8} + 3\sqrt{45} + \sqrt{50} - 2\sqrt{18}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{45} = 3\times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\)
\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((2 + 5 - 6)\sqrt{2} = 1\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(9\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{8} + 3\sqrt{45} + \sqrt{50} - 2\sqrt{18} = \sqrt{2} + 9\sqrt{5}\)
\(\sqrt{2} + 9\sqrt{5}\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 3}{2\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} + 2\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 4\times 11 - 4 = 40\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} - 3)(2\sqrt{11} + 2)\)
\(= 8\sqrt{77} + 8\sqrt{7} - 6\sqrt{11} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{77} + 8\sqrt{7} - 6\sqrt{11} - 6}{40}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{4\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 3\sqrt{11} - 3}{20}\)
\(\dfrac{4\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 3\sqrt{11} - 3}{20}\)
\((3\sqrt{2} + 8)(3\sqrt{2} - 8)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{2} \quad ; \quad y = 8\)
\(x^{2} = (3\sqrt{2})^{2} = 3^{2}\times 2 = 18\)
\(y^{2} = 8^{2} = 64\)
إذن :\((3\sqrt{2} + 8)(3\sqrt{2} - 8) = 18 - 64 = -46\)
\(-46\)
\(2\sqrt{27} - \dfrac{3\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^{2}\times 3} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 2\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 3 - 4 = -1\)
البسط :\((3\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 2) = -5\sqrt{3} + 7\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 2} = 5\sqrt{3} - 7\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{3} - \left(5\sqrt{3} - 7\right) = \sqrt{3} + 7\)
النتيجة النهائية :\(= \sqrt{3} + 7\)
\(\sqrt{3} + 7\)
\(2\sqrt{48} + \dfrac{4\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{48} = 2\sqrt{4^{2}\times 3} = 2\times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((4\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} - 4) = -19\sqrt{3} + 24\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{19\sqrt{3} - 24}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{3} + \left(\dfrac{19\sqrt{3} - 24}{13}\right) = \dfrac{123\sqrt{3} - 24}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{123\sqrt{3} - 24}{13}\)
\(\dfrac{123\sqrt{3} - 24}{13}\)
\(\sqrt{108} + 2\sqrt{50} - 2\sqrt{108} - 4\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{50} = 2\times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{108} = 12\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{75} = 20\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((6 - 12 - 20)\sqrt{3} = -26\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(10\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{108} + 2\sqrt{50} - 2\sqrt{108} - 4\sqrt{75} = -26\sqrt{3} + 10\sqrt{2}\)
\(-26\sqrt{3} + 10\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} - 1\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 4\times 7 - 1 = 27\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{7} - 1)\)
\(= 2\sqrt{14} - \sqrt{2} + 6\sqrt{7} - 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{7} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{14} - \sqrt{2} + 6\sqrt{7} - 3}{27}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{14} - \sqrt{2} + 6\sqrt{7} - 3}{27}\)
\(\dfrac{2\sqrt{14} - \sqrt{2} + 6\sqrt{7} - 3}{27}\)
\(\sqrt{44} - 2\sqrt{72} + 3\sqrt{44} - 2\sqrt{275}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = 2\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{72} = 2\times 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{44} = 6\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{275} = 10\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((2 + 6 - 10)\sqrt{11} = -2\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{44} - 2\sqrt{72} + 3\sqrt{44} - 2\sqrt{275} = -2\sqrt{11} - 12\sqrt{2}\)
\(-2\sqrt{11} - 12\sqrt{2}\)