\(\sqrt{8} + 5\sqrt{98}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{8} = \sqrt{2^{2}\times 2} = 2\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{98} = 5\times 7\sqrt{2} = 35\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{2} + 35\sqrt{2} = (2 + 35)\sqrt{2} = 37\sqrt{2}\)
\(37\sqrt{2}\)
\(\sqrt{99} + \sqrt{20} - 2\sqrt{396} + \sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{99} = 3\sqrt{11}\)
\(\sqrt{20} = \times 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{396} = 12\sqrt{11}\)
\(\sqrt{396} = 6\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((3 - 12 + 6)\sqrt{11} = -3\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(2\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{99} + \sqrt{20} - 2\sqrt{396} + \sqrt{396} = -3\sqrt{11} + 2\sqrt{5}\)
\(-3\sqrt{11} + 2\sqrt{5}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 3\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 3} = \dfrac{7(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(7(\sqrt{5} + 3) = 7\sqrt{5} + 21\)
\(= \dfrac{7\sqrt{5} + 21}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{5} - 21}{4}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{5} - 21}{4}\)
\(5\sqrt{117} - \dfrac{2\sqrt{13} + 4}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{117} = 5\sqrt{3^{2}\times 13} = 5\times 3\sqrt{13} = 15\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((2\sqrt{13} + 4)(\sqrt{13} - 1) = 2\sqrt{13} + 22\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} + 4}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{\sqrt{13} + 11}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{13} - \left(\dfrac{\sqrt{13} + 11}{6}\right) = \dfrac{89\sqrt{13} - 11}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{89\sqrt{13} - 11}{6}\)
\(\dfrac{89\sqrt{13} - 11}{6}\)
\(\sqrt{448} - 2\sqrt{448}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{448} = \sqrt{8^{2}\times 7} = 8\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{448} = 2\times 8\sqrt{7} = 16\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(8\sqrt{7} - 16\sqrt{7} = (8 - 16)\sqrt{7} = -8\sqrt{7}\)
\(-8\sqrt{7}\)
\(\sqrt{50} - \sqrt{112} - 3\sqrt{18} - \sqrt{98}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{112} = \times 4\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{18} = 9\sqrt{2}\)
\(\sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((5 - 9 - 7)\sqrt{2} = -11\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-4\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{50} - \sqrt{112} - 3\sqrt{18} - \sqrt{98} = -11\sqrt{2} - 4\sqrt{7}\)
\(-11\sqrt{2} - 4\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{63} + \dfrac{4\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{63} = 2\sqrt{3^{2}\times 7} = 2\times 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((4\sqrt{7} + 5)(\sqrt{7} - 1) = \sqrt{7} + 23\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{\sqrt{7} + 23}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{7} + \left(\dfrac{\sqrt{7} + 23}{6}\right) = \dfrac{37\sqrt{7} + 23}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{37\sqrt{7} + 23}{6}\)
\(\dfrac{37\sqrt{7} + 23}{6}\)
\(\sqrt{637} - 3\sqrt{80} + \sqrt{325} + 2\sqrt{325}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{637} = 7\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{80} = 3\times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\)
\(\sqrt{325} = 5\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{325} = 10\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((7 + 5 + 10)\sqrt{13} = 22\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{637} - 3\sqrt{80} + \sqrt{325} + 2\sqrt{325} = 22\sqrt{13} - 12\sqrt{5}\)
\(22\sqrt{13} - 12\sqrt{5}\)
\(\sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(80 = 4^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{5}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{7} + 4\)
المقام :\((2\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 4\times 7 - 16 = 12\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} - 2)(2\sqrt{7} + 4)\)
\(= 6\sqrt{21} + 12\sqrt{3} - 4\sqrt{7} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{21} + 12\sqrt{3} - 4\sqrt{7} - 8}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{3\sqrt{21} + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{7} - 4}{6}\)
\(\dfrac{3\sqrt{21} + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{7} - 4}{6}\)
\(5\sqrt{63} + \dfrac{5\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{63} = 5\sqrt{3^{2}\times 7} = 5\times 3\sqrt{7} = 15\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 1\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6\)
البسط :\((5\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} - 1) = -9\sqrt{7} + 39\)
\(\dfrac{5\sqrt{7} - 4}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{-3\sqrt{7} + 13}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{7} + \left(\dfrac{-3\sqrt{7} + 13}{2}\right) = \dfrac{27\sqrt{7} + 13}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{27\sqrt{7} + 13}{2}\)
\(\dfrac{27\sqrt{7} + 13}{2}\)
\(\sqrt{20} + 2\sqrt{8} - 4\sqrt{20} - 3\sqrt{45}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{8} = 2\times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{45} = 9\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((2 - 8 - 9)\sqrt{5} = -15\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(4\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{20} + 2\sqrt{8} - 4\sqrt{20} - 3\sqrt{45} = -15\sqrt{5} + 4\sqrt{2}\)
\(-15\sqrt{5} + 4\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{48} + \dfrac{2\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{48} = 3\sqrt{4^{2}\times 3} = 3\times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 5) = -5\sqrt{3} - 19\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{5\sqrt{3} + 19}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{3} + \left(\dfrac{5\sqrt{3} + 19}{22}\right) = \dfrac{269\sqrt{3} + 19}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{269\sqrt{3} + 19}{22}\)
\(\dfrac{269\sqrt{3} + 19}{22}\)
\((2\sqrt{7} + 2)(2\sqrt{7} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{7} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (2\sqrt{7})^{2} = 2^{2}\times 7 = 28\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((2\sqrt{7} + 2)(2\sqrt{7} - 2) = 28 - 4 = 24\)
\(24\)
\((3\sqrt{13} + 5)(3\sqrt{13} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{13} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (3\sqrt{13})^{2} = 3^{2}\times 13 = 117\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((3\sqrt{13} + 5)(3\sqrt{13} - 5) = 117 - 25 = 92\)
\(92\)
\(\sqrt{20}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(20 = 2^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{2^{2}\times 5} = 2\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{5}\)
\(5\sqrt{275} + \dfrac{3\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{275} = 5\sqrt{5^{2}\times 11} = 5\times 5\sqrt{11} = 25\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\((3\sqrt{11} + 4)(\sqrt{11} - 3) = -5\sqrt{11} + 21\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 3} = \dfrac{-5\sqrt{11} + 21}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{11} + \left(\dfrac{-5\sqrt{11} + 21}{2}\right) = \dfrac{45\sqrt{11} + 21}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{45\sqrt{11} + 21}{2}\)
\(\dfrac{45\sqrt{11} + 21}{2}\)
\(3\sqrt{80} + \dfrac{2\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{80} = 3\sqrt{4^{2}\times 5} = 3\times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((2\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 3) = -9\sqrt{5} + 19\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3} = \dfrac{9\sqrt{5} - 19}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{5} + \left(\dfrac{9\sqrt{5} - 19}{4}\right) = \dfrac{57\sqrt{5} - 19}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{57\sqrt{5} - 19}{4}\)
\(\dfrac{57\sqrt{5} - 19}{4}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{11} - 1)}{(\sqrt{11} + 1)(\sqrt{11} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\(7(\sqrt{11} - 1) = 7\sqrt{11} - 7\)
\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 7}{10}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 7}{10}\)
\(\dfrac{7\sqrt{11} - 7}{10}\)
\(\dfrac{4\sqrt{5} + 6}{3\sqrt{2} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} + 4\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 9\times 2 - 16 = 2\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{5} + 6)(3\sqrt{2} + 4)\)
\(= 12\sqrt{10} + 16\sqrt{5} + 18\sqrt{2} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{2} = \sqrt{10}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{10} + 16\sqrt{5} + 18\sqrt{2} + 24}{2}\)
نبسّط الكسر :\(= 6\sqrt{10} + 8\sqrt{5} + 9\sqrt{2} + 12\)
\(6\sqrt{10} + 8\sqrt{5} + 9\sqrt{2} + 12\)