\(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{3\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} + 5\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 9\times 13 - 25 = 92\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} - 1)(3\sqrt{13} + 5)\)
\(= 3\sqrt{39} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{13} - 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{39} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{13} - 5}{92}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{39} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{13} - 5}{92}\)
\(\dfrac{3\sqrt{39} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{13} - 5}{92}\)
\(\sqrt{147}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(147 = 7^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 3} = 7\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{147} = 7\sqrt{3}\)
\(7\sqrt{3}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 3} = \dfrac{7(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\(7(\sqrt{11} - 3) = 7\sqrt{11} - 21\)
\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 21}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 21}{2}\)
\(\dfrac{7\sqrt{11} - 21}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 6}{4\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{5} - 4\)
المقام :\((4\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 16\times 5 - 16 = 64\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 6)(4\sqrt{5} - 4)\)
\(= 4\sqrt{55} - 4\sqrt{11} + 24\sqrt{5} - 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{5} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{55} - 4\sqrt{11} + 24\sqrt{5} - 24}{64}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{55} - \sqrt{11} + 6\sqrt{5} - 6}{16}\)
\(\dfrac{\sqrt{55} - \sqrt{11} + 6\sqrt{5} - 6}{16}\)
\(4\sqrt{80} - \dfrac{5\sqrt{5} - 6}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{80} = 4\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\((5\sqrt{5} - 6)(\sqrt{5} - 2) = -16\sqrt{5} + 37\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} - 6}{\sqrt{5} + 2} = -16\sqrt{5} + 37\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{5} - \left(-16\sqrt{5} + 37\right) = 32\sqrt{5} - 37\)
النتيجة النهائية :\(= 32\sqrt{5} - 37\)
\(32\sqrt{5} - 37\)
\(\sqrt{112} + 3\sqrt{176} - 4\sqrt{252} - 3\sqrt{28}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{112} = 4\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{176} = 3\times 4\sqrt{11} = 12\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{252} = 24\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{28} = 6\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((4 - 24 - 6)\sqrt{7} = -26\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{112} + 3\sqrt{176} - 4\sqrt{252} - 3\sqrt{28} = -26\sqrt{7} + 12\sqrt{11}\)
\(-26\sqrt{7} + 12\sqrt{11}\)
\(\sqrt{32}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(32 = 4^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 2} = 4\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{2}\)
\(\sqrt{405}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(405 = 9^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 5} = 9\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{405} = 9\sqrt{5}\)
\(9\sqrt{5}\)
\(\sqrt{245} + \sqrt{396} - \sqrt{45} + 3\sqrt{45}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{245} = 7\sqrt{5}\)
\(\sqrt{396} = \times 6\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
\(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{45} = 9\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((7 - 3 + 9)\sqrt{5} = 13\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{245} + \sqrt{396} - \sqrt{45} + 3\sqrt{45} = 13\sqrt{5} + 6\sqrt{11}\)
\(13\sqrt{5} + 6\sqrt{11}\)
\((4\sqrt{2} + 5)(4\sqrt{2} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{2} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (4\sqrt{2})^{2} = 4^{2}\times 2 = 32\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((4\sqrt{2} + 5)(4\sqrt{2} - 5) = 32 - 25 = 7\)
\(7\)
\(2\sqrt{44} + \dfrac{\sqrt{11} + 5}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{44} = 2\sqrt{2^{2}\times 11} = 2\times 2\sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\((\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 2) = 3\sqrt{11} + 1\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 5}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{3\sqrt{11} + 1}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{11} + \left(\dfrac{3\sqrt{11} + 1}{7}\right) = \dfrac{31\sqrt{11} + 1}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{31\sqrt{11} + 1}{7}\)
\(\dfrac{31\sqrt{11} + 1}{7}\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} - 4}{4\sqrt{7} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{7} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 16\times 7 - 25 = 87\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{11} - 4)(4\sqrt{7} + 5)\)
\(= 16\sqrt{77} + 20\sqrt{11} - 16\sqrt{7} - 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{16\sqrt{77} + 20\sqrt{11} - 16\sqrt{7} - 20}{87}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{16\sqrt{77} + 20\sqrt{11} - 16\sqrt{7} - 20}{87}\)
\(\dfrac{16\sqrt{77} + 20\sqrt{11} - 16\sqrt{7} - 20}{87}\)
\(\sqrt{343} - 3\sqrt{28}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{343} = \sqrt{7^{2}\times 7} = 7\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{28} = 3\times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = (7 - 6)\sqrt{7} = \sqrt{7}\)
\(\sqrt{7}\)
\(\dfrac{4\sqrt{5} + 5}{\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 1\times 7 - 16 = -9\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{5} + 5)(\sqrt{7} + 4)\)
\(= 4\sqrt{35} + 16\sqrt{5} + 5\sqrt{7} + 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{7} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{35} + 16\sqrt{5} + 5\sqrt{7} + 20}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{35} - 16\sqrt{5} - 5\sqrt{7} - 20}{9}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{35} - 16\sqrt{5} - 5\sqrt{7} - 20}{9}\)
\((3\sqrt{7} + 5)(3\sqrt{7} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{7} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (3\sqrt{7})^{2} = 3^{2}\times 7 = 63\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((3\sqrt{7} + 5)(3\sqrt{7} - 5) = 63 - 25 = 38\)
\(38\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 5}{3\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 5\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 9\times 3 - 25 = 2\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} - 5)(3\sqrt{3} + 5)\)
\(= 3\sqrt{21} + 5\sqrt{7} - 15\sqrt{3} - 25\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{3} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{21} + 5\sqrt{7} - 15\sqrt{3} - 25}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{21} + 5\sqrt{7} - 15\sqrt{3} - 25}{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{21} + 5\sqrt{7} - 15\sqrt{3} - 25}{2}\)
\(\sqrt{52} + 4\sqrt{832}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = \sqrt{2^{2}\times 13} = 2\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{832} = 4\times 8\sqrt{13} = 32\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{13} + 32\sqrt{13} = (2 + 32)\sqrt{13} = 34\sqrt{13}\)
\(34\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{32} - \dfrac{3\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{32} = 2\sqrt{4^{2}\times 2} = 2\times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\((3\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 1) = -\sqrt{2} + 4\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1} = -\sqrt{2} + 4\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{2} - \left(-\sqrt{2} + 4\right) = 9\sqrt{2} - 4\)
النتيجة النهائية :\(= 9\sqrt{2} - 4\)
\(9\sqrt{2} - 4\)
\(2\sqrt{99} + \dfrac{4\sqrt{11} - 1}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{99} = 2\sqrt{3^{2}\times 11} = 2\times 3\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((4\sqrt{11} - 1)(\sqrt{11} - 5) = -21\sqrt{11} + 49\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} - 1}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{3\sqrt{11} - 7}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{11} + \left(\dfrac{3\sqrt{11} - 7}{2}\right) = \dfrac{15\sqrt{11} - 7}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{15\sqrt{11} - 7}{2}\)
\(\dfrac{15\sqrt{11} - 7}{2}\)
\(\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(75 = 5^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 3} = 5\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{3}\)