\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{2} + 6} = \dfrac{8(\sqrt{2} - 6)}{(\sqrt{2} + 6)(\sqrt{2} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 2 - 36 = -34\)
البسط :\(8(\sqrt{2} - 6) = 8\sqrt{2} - 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{2} - 48}{-34}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{2} + 24}{17}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{2} + 24}{17}\)
\((5\sqrt{11} + 2)(5\sqrt{11} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{11} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (5\sqrt{11})^{2} = 5^{2}\times 11 = 275\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((5\sqrt{11} + 2)(5\sqrt{11} - 2) = 275 - 4 = 271\)
\(271\)
\(\sqrt{44} - 5\sqrt{44}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = \sqrt{2^{2}\times 11} = 2\sqrt{11}\)
\(5\sqrt{44} = 5\times 2\sqrt{11} = 10\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{11} - 10\sqrt{11} = (2 - 10)\sqrt{11} = -8\sqrt{11}\)
\(-8\sqrt{11}\)
\(\sqrt{176} - 5\sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = \sqrt{4^{2}\times 11} = 4\sqrt{11}\)
\(5\sqrt{396} = 5\times 6\sqrt{11} = 30\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(4\sqrt{11} - 30\sqrt{11} = (4 - 30)\sqrt{11} = -26\sqrt{11}\)
\(-26\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{27} + \dfrac{2\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^{2}\times 3} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 1\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 3\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{3} + \left(\dfrac{\sqrt{3} + 3}{2}\right) = \dfrac{13\sqrt{3} + 3}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{13\sqrt{3} + 3}{2}\)
\(\dfrac{13\sqrt{3} + 3}{2}\)
\(\sqrt{325}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(325 = 5^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 13} = 5\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{325} = 5\sqrt{13}\)
\(5\sqrt{13}\)
\(\dfrac{\sqrt{3} + 5}{4\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 2\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 16\times 11 - 4 = 172\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} + 5)(4\sqrt{11} + 2)\)
\(= 4\sqrt{33} + 2\sqrt{3} + 20\sqrt{11} + 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{33} + 2\sqrt{3} + 20\sqrt{11} + 10}{172}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{33} + \sqrt{3} + 10\sqrt{11} + 5}{86}\)
\(\dfrac{2\sqrt{33} + \sqrt{3} + 10\sqrt{11} + 5}{86}\)
\(\sqrt{18}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(18 = 3^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{3^{2}\times 2} = 3\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{44} - 4\sqrt{28} - 2\sqrt{396} + 4\sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = 2\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{28} = 4\times 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{396} = 12\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{396} = 24\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((2 - 12 + 24)\sqrt{11} = 14\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-8\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{44} - 4\sqrt{28} - 2\sqrt{396} + 4\sqrt{396} = 14\sqrt{11} - 8\sqrt{7}\)
\(14\sqrt{11} - 8\sqrt{7}\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 5}{2\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} - 1\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 4\times 3 - 1 = 11\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{11} + 5)(2\sqrt{3} - 1)\)
\(= 8\sqrt{33} - 4\sqrt{11} + 10\sqrt{3} - 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{33} - 4\sqrt{11} + 10\sqrt{3} - 5}{11}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{33} - 4\sqrt{11} + 10\sqrt{3} - 5}{11}\)
\(\dfrac{8\sqrt{33} - 4\sqrt{11} + 10\sqrt{3} - 5}{11}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{8(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(8(\sqrt{5} - 1) = 8\sqrt{5} - 8\)
\(= \dfrac{8\sqrt{5} - 8}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= 2\sqrt{5} - 2\)
\(2\sqrt{5} - 2\)
\(\sqrt{28} + \sqrt{80} - 4\sqrt{63} + 4\sqrt{28}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)
\(\sqrt{80} = \times 4\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{63} = 12\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{28} = 8\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((2 - 12 + 8)\sqrt{7} = -2\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(4\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{28} + \sqrt{80} - 4\sqrt{63} + 4\sqrt{28} = -2\sqrt{7} + 4\sqrt{5}\)
\(-2\sqrt{7} + 4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{175} + 4\sqrt{108} - 3\sqrt{252} - 2\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{175} = 5\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{108} = 4\times 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{252} = 18\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{252} = 12\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((5 - 18 - 12)\sqrt{7} = -25\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(24\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{175} + 4\sqrt{108} - 3\sqrt{252} - 2\sqrt{252} = -25\sqrt{7} + 24\sqrt{3}\)
\(-25\sqrt{7} + 24\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} + 2\sqrt{20} - 2\sqrt{27} + \sqrt{27}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{20} = 2\times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((5 - 6 + 3)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(4\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{75} + 2\sqrt{20} - 2\sqrt{27} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{28} + 3\sqrt{72} - 4\sqrt{28} - 3\sqrt{63}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{72} = 3\times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{28} = 8\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{63} = 9\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((2 - 8 - 9)\sqrt{7} = -15\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(18\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{28} + 3\sqrt{72} - 4\sqrt{28} - 3\sqrt{63} = -15\sqrt{7} + 18\sqrt{2}\)
\(-15\sqrt{7} + 18\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{208} + \dfrac{2\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{208} = 4\sqrt{4^{2}\times 13} = 4\times 4\sqrt{13} = 16\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((2\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 5) = -9\sqrt{13} + 21\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{3\sqrt{13} - 7}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{13} + \left(\dfrac{3\sqrt{13} - 7}{4}\right) = \dfrac{67\sqrt{13} - 7}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{67\sqrt{13} - 7}{4}\)
\(\dfrac{67\sqrt{13} - 7}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 1}{\sqrt{2} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 1\times 2 - 25 = -23\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} + 1)(\sqrt{2} + 5)\)
\(= \sqrt{22} + 5\sqrt{11} + \sqrt{2} + 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{\sqrt{22} + 5\sqrt{11} + \sqrt{2} + 5}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{22} - 5\sqrt{11} - \sqrt{2} - 5}{23}\)
\(\dfrac{-\sqrt{22} - 5\sqrt{11} - \sqrt{2} - 5}{23}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 1}{4\sqrt{5} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{5} + 4\)
المقام :\((4\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 16\times 5 - 16 = 64\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 1)(4\sqrt{5} + 4)\)
\(= 8\sqrt{35} + 8\sqrt{7} - 4\sqrt{5} - 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{5} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{35} + 8\sqrt{7} - 4\sqrt{5} - 4}{64}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{35} + 2\sqrt{7} - \sqrt{5} - 1}{16}\)
\(\dfrac{2\sqrt{35} + 2\sqrt{7} - \sqrt{5} - 1}{16}\)
\(2\sqrt{8} - \dfrac{3\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{8} = 2\sqrt{2^{2}\times 2} = 2\times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 4\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 2 - 16 = -14\)
البسط :\((3\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 4) = -10\sqrt{2} - 2\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 4} = \dfrac{5\sqrt{2} + 1}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{2} - \left(\dfrac{5\sqrt{2} + 1}{7}\right) = \dfrac{23\sqrt{2} - 1}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{23\sqrt{2} - 1}{7}\)
\(\dfrac{23\sqrt{2} - 1}{7}\)
\((5\sqrt{7} + 6)(5\sqrt{7} - 6)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{7} \quad ; \quad y = 6\)
\(x^{2} = (5\sqrt{7})^{2} = 5^{2}\times 7 = 175\)
\(y^{2} = 6^{2} = 36\)
إذن :\((5\sqrt{7} + 6)(5\sqrt{7} - 6) = 175 - 36 = 139\)
\(139\)