\(3\sqrt{112} + \dfrac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{112} = 3\sqrt{4^{2}\times 7} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((\sqrt{7} + 5)(\sqrt{7} - 2) = 3\sqrt{7} - 3\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 2} = \sqrt{7} - 1\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} + \left(\sqrt{7} - 1\right) = 13\sqrt{7} - 1\)
النتيجة النهائية :\(= 13\sqrt{7} - 1\)
\(13\sqrt{7} - 1\)
\((2\sqrt{13} + 5)(2\sqrt{13} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{13} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (2\sqrt{13})^{2} = 2^{2}\times 13 = 52\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((2\sqrt{13} + 5)(2\sqrt{13} - 5) = 52 - 25 = 27\)
\(27\)
\(\dfrac{2\sqrt{13} - 1}{2\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{11} - 3\)
المقام :\((2\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 4\times 11 - 9 = 35\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{13} - 1)(2\sqrt{11} - 3)\)
\(= 4\sqrt{143} - 6\sqrt{13} - 2\sqrt{11} + 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{11} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{143} - 6\sqrt{13} - 2\sqrt{11} + 3}{35}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{4\sqrt{143} - 6\sqrt{13} - 2\sqrt{11} + 3}{35}\)
\(\dfrac{4\sqrt{143} - 6\sqrt{13} - 2\sqrt{11} + 3}{35}\)
\((5\sqrt{5} + 1)(5\sqrt{5} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{5} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (5\sqrt{5})^{2} = 5^{2}\times 5 = 125\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((5\sqrt{5} + 1)(5\sqrt{5} - 1) = 125 - 1 = 124\)
\(124\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 6}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 1\times 2 - 4 = -2\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} - 6)(\sqrt{2} + 2)\)
\(= \sqrt{14} + 2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{2} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{\sqrt{14} + 2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 12}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{14} - 2\sqrt{7} + 6\sqrt{2} + 12}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{14} - 2\sqrt{7} + 6\sqrt{2} + 12}{2}\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} - 6}{\sqrt{5} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 1\times 5 - 1 = 4\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{7} - 6)(\sqrt{5} + 1)\)
\(= 4\sqrt{35} + 4\sqrt{7} - 6\sqrt{5} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{5} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{35} + 4\sqrt{7} - 6\sqrt{5} - 6}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{35} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{5} - 3}{2}\)
\(\dfrac{2\sqrt{35} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{5} - 3}{2}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{7(\sqrt{11} - 5)}{(\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(7(\sqrt{11} - 5) = 7\sqrt{11} - 35\)
\(= \dfrac{7\sqrt{11} - 35}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} + 5}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} + 5}{2}\)
\(\sqrt{20}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(20 = 2^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{2^{2}\times 5} = 2\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{108}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(108 = 6^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 3} = 6\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)
\(6\sqrt{3}\)
\(\sqrt{63} - \sqrt{27} - 3\sqrt{63} + 4\sqrt{112}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\)
\(\sqrt{27} = \times 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{63} = 9\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{112} = 16\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((3 - 9 + 16)\sqrt{7} = 10\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-3\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{63} - \sqrt{27} - 3\sqrt{63} + 4\sqrt{112} = 10\sqrt{7} - 3\sqrt{3}\)
\(10\sqrt{7} - 3\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{20} + \dfrac{3\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{20} = 4\sqrt{2^{2}\times 5} = 4\times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\((3\sqrt{5} + 5)(\sqrt{5} - 2) = -\sqrt{5} + 5\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} + 5}{\sqrt{5} + 2} = -\sqrt{5} + 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{5} + \left(-\sqrt{5} + 5\right) = 7\sqrt{5} + 5\)
النتيجة النهائية :\(= 7\sqrt{5} + 5\)
\(7\sqrt{5} + 5\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{11} - 3} = \dfrac{8(\sqrt{11} + 3)}{(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\(8(\sqrt{11} + 3) = 8\sqrt{11} + 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{11} + 24}{2}\)
نبسّط الكسر :\(= 4\sqrt{11} + 12\)
\(4\sqrt{11} + 12\)
\(\sqrt{108} - 2\sqrt{48}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = \sqrt{6^{2}\times 3} = 6\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{48} = 2\times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(6\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = (6 - 8)\sqrt{3} = -2\sqrt{3}\)
\(-2\sqrt{3}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{4(\sqrt{2} - 3)}{(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\(4(\sqrt{2} - 3) = 4\sqrt{2} - 12\)
\(= \dfrac{4\sqrt{2} - 12}{-7}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{2} + 12}{7}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{2} + 12}{7}\)
\(\sqrt{12}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(12 = 2^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{2^{2}\times 3} = 2\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3}\)
\((\sqrt{2} + 6)(\sqrt{2} - 6)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{2} \quad ; \quad y = 6\)
\(x^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 1^{2}\times 2 = 2\)
\(y^{2} = 6^{2} = 36\)
إذن :\((\sqrt{2} + 6)(\sqrt{2} - 6) = 2 - 36 = -34\)
\(-34\)
\(\sqrt{175} - 3\sqrt{448}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{175} = \sqrt{5^{2}\times 7} = 5\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{448} = 3\times 8\sqrt{7} = 24\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{7} - 24\sqrt{7} = (5 - 24)\sqrt{7} = -19\sqrt{7}\)
\(-19\sqrt{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 4}{\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 1\times 11 - 4 = 7\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{7} - 4)(\sqrt{11} + 2)\)
\(= 2\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 8}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 8}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{77} + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 8}{7}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} - 6}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 1\times 11 - 1 = 10\)
ننشر البسط :\((\sqrt{2} - 6)(\sqrt{11} - 1)\)
\(= \sqrt{22} - \sqrt{2} - 6\sqrt{11} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{\sqrt{22} - \sqrt{2} - 6\sqrt{11} + 6}{10}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{22} - \sqrt{2} - 6\sqrt{11} + 6}{10}\)
\(\dfrac{\sqrt{22} - \sqrt{2} - 6\sqrt{11} + 6}{10}\)
\((4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{5} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (4\sqrt{5})^{2} = 4^{2}\times 5 = 80\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4) = 80 - 16 = 64\)
\(64\)