\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{11} - 5} = \dfrac{2(\sqrt{11} + 5)}{(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(2(\sqrt{11} + 5) = 2\sqrt{11} + 10\)
\(= \dfrac{2\sqrt{11} + 10}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{11} - 5}{7}\)
\(\dfrac{-\sqrt{11} - 5}{7}\)
\(\sqrt{180}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(180 = 6^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 5} = 6\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} - 4\sqrt{20}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{45} = \sqrt{3^{2}\times 5} = 3\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{20} = 4\times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = (3 - 8)\sqrt{5} = -5\sqrt{5}\)
\(-5\sqrt{5}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 2\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} - 2} = \dfrac{8(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\(8(\sqrt{7} + 2) = 8\sqrt{7} + 16\)
\(= \dfrac{8\sqrt{7} + 16}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{7} + 16}{3}\)
\(\dfrac{8\sqrt{7} + 16}{3}\)
\(5\sqrt{208} - \dfrac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{208} = 5\sqrt{4^{2}\times 13} = 5\times 4\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 5) = -10\sqrt{13} + 38\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{5\sqrt{13} - 19}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} - \left(\dfrac{5\sqrt{13} - 19}{6}\right) = \dfrac{115\sqrt{13} + 19}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{115\sqrt{13} + 19}{6}\)
\(\dfrac{115\sqrt{13} + 19}{6}\)
\(\sqrt{147} + 4\sqrt{108}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{147} = \sqrt{7^{2}\times 3} = 7\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{108} = 4\times 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{3} + 24\sqrt{3} = (7 + 24)\sqrt{3} = 31\sqrt{3}\)
\(31\sqrt{3}\)
\(\sqrt{108} - \sqrt{275} - 2\sqrt{147} - 4\sqrt{108}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)
\(\sqrt{275} = \times 5\sqrt{11} = 5\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{147} = 14\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{108} = 24\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((6 - 14 - 24)\sqrt{3} = -32\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-5\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{108} - \sqrt{275} - 2\sqrt{147} - 4\sqrt{108} = -32\sqrt{3} - 5\sqrt{11}\)
\(-32\sqrt{3} - 5\sqrt{11}\)
\(\sqrt{128}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(128 = 8^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 2} = 8\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{128} = 8\sqrt{2}\)
\(8\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{18} - \dfrac{3\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{18} = 5\sqrt{3^{2}\times 2} = 5\times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\((3\sqrt{2} - 6)(\sqrt{2} - 5) = -21\sqrt{2} + 36\)
\(\dfrac{3\sqrt{2} - 6}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{21\sqrt{2} - 36}{23}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{2} - \left(\dfrac{21\sqrt{2} - 36}{23}\right) = \dfrac{324\sqrt{2} + 36}{23}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{324\sqrt{2} + 36}{23}\)
\(\dfrac{324\sqrt{2} + 36}{23}\)
\(\sqrt{18} + 2\sqrt{275} - \sqrt{50} + 2\sqrt{8}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{275} = 2\times 5\sqrt{11} = 10\sqrt{11}\)
\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((3 - 5 + 4)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(10\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{18} + 2\sqrt{275} - \sqrt{50} + 2\sqrt{8} = 2\sqrt{2} + 10\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{2} + 10\sqrt{11}\)
\(\sqrt{192} + 2\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{192} = \sqrt{8^{2}\times 3} = 8\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{75} = 2\times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(8\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = (8 + 10)\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\)
\(18\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{112} - \dfrac{3\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{112} = 4\sqrt{4^{2}\times 7} = 4\times 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((3\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} - 3) = -12\sqrt{7} + 30\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 3}{\sqrt{7} + 3} = 6\sqrt{7} - 15\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(16\sqrt{7} - \left(6\sqrt{7} - 15\right) = 10\sqrt{7} + 15\)
النتيجة النهائية :\(= 10\sqrt{7} + 15\)
\(10\sqrt{7} + 15\)
\(\sqrt{539} - \sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{539} = \sqrt{7^{2}\times 11} = 7\sqrt{11}\)
\(\sqrt{176} = \times 4\sqrt{11} = 4\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{11} - 4\sqrt{11} = (7 - 4)\sqrt{11} = 3\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{11}\)
\(\dfrac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 1\times 2 - 4 = -2\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} + 5)(\sqrt{2} + 2)\)
\(= \sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} + 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} + 10}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 10}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 10}{2}\)
\(\sqrt{52} + \sqrt{637}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = \sqrt{2^{2}\times 13} = 2\sqrt{13}\)
\(\sqrt{637} = \times 7\sqrt{13} = 7\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{13} + 7\sqrt{13} = (2 + 7)\sqrt{13} = 9\sqrt{13}\)
\(9\sqrt{13}\)
\(5\sqrt{45} - \dfrac{5\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{45} = 5\sqrt{3^{2}\times 5} = 5\times 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 3\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) = -12\sqrt{5} + 16\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3} = 3\sqrt{5} - 4\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{5} - \left(3\sqrt{5} - 4\right) = 12\sqrt{5} + 4\)
النتيجة النهائية :\(= 12\sqrt{5} + 4\)
\(12\sqrt{5} + 4\)
\((\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{2} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 1^{2}\times 2 = 2\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 4) = 2 - 16 = -14\)
\(-14\)
\((4\sqrt{5} + 6)(4\sqrt{5} - 6)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{5} \quad ; \quad y = 6\)
\(x^{2} = (4\sqrt{5})^{2} = 4^{2}\times 5 = 80\)
\(y^{2} = 6^{2} = 36\)
إذن :\((4\sqrt{5} + 6)(4\sqrt{5} - 6) = 80 - 36 = 44\)
\(44\)
\(3\sqrt{52} + \dfrac{5\sqrt{13} - 2}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{52} = 3\sqrt{2^{2}\times 13} = 3\times 2\sqrt{13} = 6\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((5\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} - 1) = -7\sqrt{13} + 67\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 2}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-7\sqrt{13} + 67}{12}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{13} + \left(\dfrac{-7\sqrt{13} + 67}{12}\right) = \dfrac{65\sqrt{13} + 67}{12}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{65\sqrt{13} + 67}{12}\)
\(\dfrac{65\sqrt{13} + 67}{12}\)
\(\sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(80 = 4^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 5} = 4\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{5}\)