\(\sqrt{52} + \sqrt{175} - 4\sqrt{468} - \sqrt{468}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
\(\sqrt{175} = \times 5\sqrt{7} = 5\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{468} = 24\sqrt{13}\)
\(\sqrt{468} = 6\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((2 - 24 - 6)\sqrt{13} = -28\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(5\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{52} + \sqrt{175} - 4\sqrt{468} - \sqrt{468} = -28\sqrt{13} + 5\sqrt{7}\)
\(-28\sqrt{13} + 5\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{112} + \dfrac{2\sqrt{7} + 6}{\sqrt{7} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{112} = 2\sqrt{4^{2}\times 7} = 2\times 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 3\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 7 - 9 = -2\)
البسط :\((2\sqrt{7} + 6)(\sqrt{7} - 3) = -4\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} + 6}{\sqrt{7} + 3} = 2\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{7} + \left(2\right) = 8\sqrt{7} + 2\)
النتيجة النهائية :\(= 8\sqrt{7} + 2\)
\(8\sqrt{7} + 2\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 6\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 6} = \dfrac{1(\sqrt{3} + 6)}{(\sqrt{3} - 6)(\sqrt{3} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 3 - 36 = -33\)
البسط :\(1(\sqrt{3} + 6) = \sqrt{3} + 6\)
\(= \dfrac{\sqrt{3} + 6}{-33}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{3} - 6}{33}\)
\(\dfrac{-\sqrt{3} - 6}{33}\)
\(3\sqrt{44} - \dfrac{5\sqrt{11} - 1}{\sqrt{11} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{44} = 3\sqrt{2^{2}\times 11} = 3\times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\((5\sqrt{11} - 1)(\sqrt{11} - 5) = -26\sqrt{11} + 60\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 1}{\sqrt{11} + 5} = \dfrac{13\sqrt{11} - 30}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{11} - \left(\dfrac{13\sqrt{11} - 30}{7}\right) = \dfrac{29\sqrt{11} + 30}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{29\sqrt{11} + 30}{7}\)
\(\dfrac{29\sqrt{11} + 30}{7}\)
\(2\sqrt{125} - \dfrac{\sqrt{5} + 6}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{125} = 2\sqrt{5^{2}\times 5} = 2\times 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\((\sqrt{5} + 6)(\sqrt{5} - 1) = 5\sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 6}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{5\sqrt{5} - 1}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{5} - \left(\dfrac{5\sqrt{5} - 1}{4}\right) = \dfrac{35\sqrt{5} + 1}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{35\sqrt{5} + 1}{4}\)
\(\dfrac{35\sqrt{5} + 1}{4}\)
\(2\sqrt{32} + \dfrac{\sqrt{2} + 6}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{32} = 2\sqrt{4^{2}\times 2} = 2\times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((\sqrt{2} + 6)(\sqrt{2} - 2) = 4\sqrt{2} - 10\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + 6}{\sqrt{2} + 2} = -2\sqrt{2} + 5\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{2} + \left(-2\sqrt{2} + 5\right) = 6\sqrt{2} + 5\)
النتيجة النهائية :\(= 6\sqrt{2} + 5\)
\(6\sqrt{2} + 5\)
\(\sqrt{208}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(208 = 4^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 13} = 4\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{208} = 4\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{13}\)
\(\sqrt{112}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(112 = 4^{2}\times 7\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 7} = 4\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{112} = 4\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{7}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} + 2} = \dfrac{7(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{5} - 2) = 7\sqrt{5} - 14\)
\(= 7\sqrt{5} - 14\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{5} - 14\)
\(7\sqrt{5} - 14\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} + 2}{3\sqrt{13} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} + 6\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 9\times 13 - 36 = 81\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{5} + 2)(3\sqrt{13} + 6)\)
\(= 6\sqrt{65} + 12\sqrt{5} + 6\sqrt{13} + 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{65} + 12\sqrt{5} + 6\sqrt{13} + 12}{81}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{65} + 4\sqrt{5} + 2\sqrt{13} + 4}{27}\)
\(\dfrac{2\sqrt{65} + 4\sqrt{5} + 2\sqrt{13} + 4}{27}\)
\(\sqrt{162}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(162 = 9^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 2} = 9\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{162} = 9\sqrt{2}\)
\(9\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{7} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 1\times 7 - 16 = -9\)
ننشر البسط :\((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 4)\)
\(= \sqrt{21} + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{\sqrt{21} + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + 4}{-9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{21} - 4\sqrt{3} - \sqrt{7} - 4}{9}\)
\(\dfrac{-\sqrt{21} - 4\sqrt{3} - \sqrt{7} - 4}{9}\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 5}{3\sqrt{2} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} + 4\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 4^{2} = 9\times 2 - 16 = 2\)
ننشر البسط :\((\sqrt{7} - 5)(3\sqrt{2} + 4)\)
\(= 3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{2} = \sqrt{14}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20}{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{7} - 15\sqrt{2} - 20}{2}\)
\(\sqrt{208} - 2\sqrt{108} + 4\sqrt{208} - 3\sqrt{117}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{208} = 4\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{108} = 2\times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{208} = 16\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{117} = 9\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((4 + 16 - 9)\sqrt{13} = 11\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{208} - 2\sqrt{108} + 4\sqrt{208} - 3\sqrt{117} = 11\sqrt{13} - 12\sqrt{3}\)
\(11\sqrt{13} - 12\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{125} + \dfrac{5\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{125} = 5\sqrt{5^{2}\times 5} = 5\times 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 5\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 5^{2} = 5 - 25 = -20\)
البسط :\((5\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 5) = -28\sqrt{5} + 40\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 5} = \dfrac{7\sqrt{5} - 10}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{5} + \left(\dfrac{7\sqrt{5} - 10}{5}\right) = \dfrac{132\sqrt{5} - 10}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{132\sqrt{5} - 10}{5}\)
\(\dfrac{132\sqrt{5} - 10}{5}\)
\(2\sqrt{117} + \dfrac{5\sqrt{13} + 2}{\sqrt{13} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{117} = 2\sqrt{3^{2}\times 13} = 2\times 3\sqrt{13} = 6\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 2\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 2^{2} = 13 - 4 = 9\)
البسط :\((5\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 2) = -8\sqrt{13} + 61\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} + 2}{\sqrt{13} + 2} = \dfrac{-8\sqrt{13} + 61}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{13} + \left(\dfrac{-8\sqrt{13} + 61}{9}\right) = \dfrac{46\sqrt{13} + 61}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{46\sqrt{13} + 61}{9}\)
\(\dfrac{46\sqrt{13} + 61}{9}\)
\(\sqrt{325} - \sqrt{208}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{325} = \sqrt{5^{2}\times 13} = 5\sqrt{13}\)
\(\sqrt{208} = \times 4\sqrt{13} = 4\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{13} - 4\sqrt{13} = (5 - 4)\sqrt{13} = \sqrt{13}\)
\(\sqrt{13}\)
\(\sqrt{343} - 2\sqrt{27} - \sqrt{252} + \sqrt{112}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{343} = 7\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{27} = 2\times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
\(\sqrt{252} = 6\sqrt{7}\)
\(\sqrt{112} = 4\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((7 - 6 + 4)\sqrt{7} = 5\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-6\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{343} - 2\sqrt{27} - \sqrt{252} + \sqrt{112} = 5\sqrt{7} - 6\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{7} - 6\sqrt{3}\)
\(\sqrt{176} - \sqrt{28} + \sqrt{275} + 4\sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(\sqrt{28} = \times 2\sqrt{7} = 2\sqrt{7}\)
\(\sqrt{275} = 5\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{176} = 16\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((4 + 5 + 16)\sqrt{11} = 25\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-2\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{176} - \sqrt{28} + \sqrt{275} + 4\sqrt{176} = 25\sqrt{11} - 2\sqrt{7}\)
\(25\sqrt{11} - 2\sqrt{7}\)
\(\sqrt{50} + 3\sqrt{28} - 3\sqrt{8} - 3\sqrt{8}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{28} = 3\times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((5 - 6 - 6)\sqrt{2} = -7\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{50} + 3\sqrt{28} - 3\sqrt{8} - 3\sqrt{8} = -7\sqrt{2} + 6\sqrt{7}\)
\(-7\sqrt{2} + 6\sqrt{7}\)