\(\sqrt{175}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(175 = 5^{2}\times 7\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 7} = 5\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{175} = 5\sqrt{7}\)
\(5\sqrt{7}\)
\(\sqrt{63} + \sqrt{125} + \sqrt{63} + 4\sqrt{175}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\)
\(\sqrt{125} = \times 5\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
\(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{175} = 20\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((3 + 3 + 20)\sqrt{7} = 26\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(5\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{63} + \sqrt{125} + \sqrt{63} + 4\sqrt{175} = 26\sqrt{7} + 5\sqrt{5}\)
\(26\sqrt{7} + 5\sqrt{5}\)
\(\dfrac{\sqrt{11} - 4}{3\sqrt{5} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{5} - 6\)
المقام :\((3\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 9\times 5 - 36 = 9\)
ننشر البسط :\((\sqrt{11} - 4)(3\sqrt{5} - 6)\)
\(= 3\sqrt{55} - 6\sqrt{11} - 12\sqrt{5} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{5} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{55} - 6\sqrt{11} - 12\sqrt{5} + 24}{9}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{55} - 2\sqrt{11} - 4\sqrt{5} + 8}{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{55} - 2\sqrt{11} - 4\sqrt{5} + 8}{3}\)
\(\sqrt{117} - 3\sqrt{80} - 3\sqrt{637} - \sqrt{208}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{117} = 3\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{80} = 3\times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{637} = 21\sqrt{13}\)
\(\sqrt{208} = 4\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((3 - 21 - 4)\sqrt{13} = -22\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{117} - 3\sqrt{80} - 3\sqrt{637} - \sqrt{208} = -22\sqrt{13} - 12\sqrt{5}\)
\(-22\sqrt{13} - 12\sqrt{5}\)
\(\sqrt{52} - 2\sqrt{637}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = \sqrt{2^{2}\times 13} = 2\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{637} = 2\times 7\sqrt{13} = 14\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{13} - 14\sqrt{13} = (2 - 14)\sqrt{13} = -12\sqrt{13}\)
\(-12\sqrt{13}\)
\(\sqrt{252} - 2\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{252} = \sqrt{6^{2}\times 7} = 6\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{252} = 2\times 6\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(6\sqrt{7} - 12\sqrt{7} = (6 - 12)\sqrt{7} = -6\sqrt{7}\)
\(-6\sqrt{7}\)
\(\sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(396 = 6^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 11} = 6\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{396} = 6\sqrt{11}\)
\(6\sqrt{11}\)
\(\sqrt{80} + 4\sqrt{99} - 4\sqrt{80} + 2\sqrt{80}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{99} = 4\times 3\sqrt{11} = 12\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{80} = 16\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{80} = 8\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((4 - 16 + 8)\sqrt{5} = -4\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{80} + 4\sqrt{99} - 4\sqrt{80} + 2\sqrt{80} = -4\sqrt{5} + 12\sqrt{11}\)
\(-4\sqrt{5} + 12\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{117} + \dfrac{5\sqrt{13} - 6}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{117} = 3\sqrt{3^{2}\times 13} = 3\times 3\sqrt{13} = 9\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((5\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} - 3) = -21\sqrt{13} + 83\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 6}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{-21\sqrt{13} + 83}{4}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{13} + \left(\dfrac{-21\sqrt{13} + 83}{4}\right) = \dfrac{15\sqrt{13} + 83}{4}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{15\sqrt{13} + 83}{4}\)
\(\dfrac{15\sqrt{13} + 83}{4}\)
\(\sqrt{75} - 4\sqrt{18} - 4\sqrt{75} + 3\sqrt{147}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{18} = 4\times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{75} = 20\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{147} = 21\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((5 - 20 + 21)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{75} - 4\sqrt{18} - 4\sqrt{75} + 3\sqrt{147} = 6\sqrt{3} - 12\sqrt{2}\)
\(6\sqrt{3} - 12\sqrt{2}\)
\(\sqrt{27} + 4\sqrt{192}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{27} = \sqrt{3^{2}\times 3} = 3\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{192} = 4\times 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{3} + 32\sqrt{3} = (3 + 32)\sqrt{3} = 35\sqrt{3}\)
\(35\sqrt{3}\)
\(\sqrt{637} + 5\sqrt{325}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{637} = \sqrt{7^{2}\times 13} = 7\sqrt{13}\)
\(5\sqrt{325} = 5\times 5\sqrt{13} = 25\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{13} + 25\sqrt{13} = (7 + 25)\sqrt{13} = 32\sqrt{13}\)
\(32\sqrt{13}\)
\(\sqrt{162}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(162 = 9^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 2} = 9\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{162} = 9\sqrt{2}\)
\(9\sqrt{2}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 5\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{7} + 5} = \dfrac{3(\sqrt{7} - 5)}{(\sqrt{7} + 5)(\sqrt{7} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 7 - 25 = -18\)
البسط :\(3(\sqrt{7} - 5) = 3\sqrt{7} - 15\)
\(= \dfrac{3\sqrt{7} - 15}{-18}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{7} + 5}{6}\)
\(\dfrac{-\sqrt{7} + 5}{6}\)
\(\sqrt{18} - 5\sqrt{32}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2}\times 2} = 3\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{32} = 5\times 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{2} - 20\sqrt{2} = (3 - 20)\sqrt{2} = -17\sqrt{2}\)
\(-17\sqrt{2}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 2\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{2} - 2} = \dfrac{3(\sqrt{2} + 2)}{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(3(\sqrt{2} + 2) = 3\sqrt{2} + 6\)
\(= \dfrac{3\sqrt{2} + 6}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{2} - 6}{2}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{2} - 6}{2}\)
\(\sqrt{176} + 3\sqrt{99}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = \sqrt{4^{2}\times 11} = 4\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{99} = 3\times 3\sqrt{11} = 9\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(4\sqrt{11} + 9\sqrt{11} = (4 + 9)\sqrt{11} = 13\sqrt{11}\)
\(13\sqrt{11}\)
\((\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{7} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (\sqrt{7})^{2} = 1^{2}\times 7 = 7\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4) = 7 - 16 = -9\)
\(-9\)
\(\sqrt{175} - 4\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{175} = \sqrt{5^{2}\times 7} = 5\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{252} = 4\times 6\sqrt{7} = 24\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{7} - 24\sqrt{7} = (5 - 24)\sqrt{7} = -19\sqrt{7}\)
\(-19\sqrt{7}\)
\(\sqrt{44} - 2\sqrt{704}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = \sqrt{2^{2}\times 11} = 2\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{704} = 2\times 8\sqrt{11} = 16\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{11} - 16\sqrt{11} = (2 - 16)\sqrt{11} = -14\sqrt{11}\)
\(-14\sqrt{11}\)