\(\sqrt{98} - 5\sqrt{98}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{98} = \sqrt{7^{2}\times 2} = 7\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{98} = 5\times 7\sqrt{2} = 35\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{2} - 35\sqrt{2} = (7 - 35)\sqrt{2} = -28\sqrt{2}\)
\(-28\sqrt{2}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{7(\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2)(\sqrt{2} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\(7(\sqrt{2} - 2) = 7\sqrt{2} - 14\)
\(= \dfrac{7\sqrt{2} - 14}{-2}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{2} + 14}{2}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{2} + 14}{2}\)
\(3\sqrt{18} - \dfrac{5\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{18} = 3\sqrt{3^{2}\times 2} = 3\times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 2 - 9 = -7\)
البسط :\((5\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} - 3) = -20\sqrt{2} + 25\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} + 3} = \dfrac{20\sqrt{2} - 25}{7}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{2} - \left(\dfrac{20\sqrt{2} - 25}{7}\right) = \dfrac{43\sqrt{2} + 25}{7}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{43\sqrt{2} + 25}{7}\)
\(\dfrac{43\sqrt{2} + 25}{7}\)
\(2\sqrt{12} - \dfrac{4\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{12} = 2\sqrt{2^{2}\times 3} = 2\times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\((4\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 3) = -13\sqrt{3} + 15\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{13\sqrt{3} - 15}{6}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{3} - \left(\dfrac{13\sqrt{3} - 15}{6}\right) = \dfrac{11\sqrt{3} + 15}{6}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{11\sqrt{3} + 15}{6}\)
\(\dfrac{11\sqrt{3} + 15}{6}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{13} - 4} = \dfrac{4(\sqrt{13} + 4)}{(\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\(4(\sqrt{13} + 4) = 4\sqrt{13} + 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{13} + 16}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{13} - 16}{3}\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{5} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{5} - 4} = \dfrac{4(\sqrt{5} + 4)}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\(4(\sqrt{5} + 4) = 4\sqrt{5} + 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{5} + 16}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{5} - 16}{11}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{5} - 16}{11}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 3}{2\sqrt{2} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} + 2\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 4\times 2 - 4 = 4\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} - 3)(2\sqrt{2} + 2)\)
\(= 10\sqrt{22} + 10\sqrt{11} - 6\sqrt{2} - 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{22} + 10\sqrt{11} - 6\sqrt{2} - 6}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{22} + 5\sqrt{11} - 3\sqrt{2} - 3}{2}\)
\(\dfrac{5\sqrt{22} + 5\sqrt{11} - 3\sqrt{2} - 3}{2}\)
\(\sqrt{637} - 3\sqrt{832}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{637} = \sqrt{7^{2}\times 13} = 7\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{832} = 3\times 8\sqrt{13} = 24\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(7\sqrt{13} - 24\sqrt{13} = (7 - 24)\sqrt{13} = -17\sqrt{13}\)
\(-17\sqrt{13}\)
\(\sqrt{108} - 4\sqrt{208} - 3\sqrt{48} - 4\sqrt{147}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{208} = 4\times 4\sqrt{13} = 16\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{48} = 12\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{147} = 28\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((6 - 12 - 28)\sqrt{3} = -34\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-16\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{108} - 4\sqrt{208} - 3\sqrt{48} - 4\sqrt{147} = -34\sqrt{3} - 16\sqrt{13}\)
\(-34\sqrt{3} - 16\sqrt{13}\)
\((4\sqrt{3} + 4)(4\sqrt{3} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{3} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (4\sqrt{3})^{2} = 4^{2}\times 3 = 48\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((4\sqrt{3} + 4)(4\sqrt{3} - 4) = 48 - 16 = 32\)
\(32\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} - 3} = \dfrac{8(\sqrt{13} + 3)}{(\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\(8(\sqrt{13} + 3) = 8\sqrt{13} + 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{13} + 24}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= 2\sqrt{13} + 6\)
\(2\sqrt{13} + 6\)
\(\sqrt{147} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{147} + 3\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{147} = 7\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{45} = 3\times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{147} = 28\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{75} = 15\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((7 + 28 + 15)\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-9\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{147} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{147} + 3\sqrt{75} = 50\sqrt{3} - 9\sqrt{5}\)
\(50\sqrt{3} - 9\sqrt{5}\)
\(\sqrt{72} - 2\sqrt{8}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{72} = \sqrt{6^{2}\times 2} = 6\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{8} = 2\times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (6 - 4)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{2}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 4\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} - 4} = \dfrac{3(\sqrt{5} + 4)}{(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\(3(\sqrt{5} + 4) = 3\sqrt{5} + 12\)
\(= \dfrac{3\sqrt{5} + 12}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} - 12}{11}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} - 12}{11}\)
\(\sqrt{704}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(704 = 8^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 11} = 8\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{704} = 8\sqrt{11}\)
\(8\sqrt{11}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} - 5}{4\sqrt{2} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{2} + 6\)
المقام :\((4\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 16\times 2 - 36 = -4\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{3} - 5)(4\sqrt{2} + 6)\)
\(= 8\sqrt{6} + 12\sqrt{3} - 20\sqrt{2} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{8\sqrt{6} + 12\sqrt{3} - 20\sqrt{2} - 30}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{6} - 6\sqrt{3} + 10\sqrt{2} + 15}{2}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{6} - 6\sqrt{3} + 10\sqrt{2} + 15}{2}\)
\(2\sqrt{112} + \dfrac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{112} = 2\sqrt{4^{2}\times 7} = 2\times 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 5\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 7 - 25 = -18\)
البسط :\((\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} - 5) = -7\sqrt{7} + 17\)
\(\dfrac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 5} = \dfrac{7\sqrt{7} - 17}{18}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{7} + \left(\dfrac{7\sqrt{7} - 17}{18}\right) = \dfrac{151\sqrt{7} - 17}{18}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{151\sqrt{7} - 17}{18}\)
\(\dfrac{151\sqrt{7} - 17}{18}\)
\(\sqrt{44} + \sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = \sqrt{2^{2}\times 11} = 2\sqrt{11}\)
\(\sqrt{396} = \times 6\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{11} + 6\sqrt{11} = (2 + 6)\sqrt{11} = 8\sqrt{11}\)
\(8\sqrt{11}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{3} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} + 4\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 4\times 3 - 16 = -4\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{3} + 4)\)
\(= 4\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{6} - 4\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2}{2}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{6} - 4\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2}{2}\)
\(3\sqrt{63} + \dfrac{2\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{63} = 3\sqrt{3^{2}\times 7} = 3\times 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((2\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} - 4) = -13\sqrt{7} + 34\)
\(\dfrac{2\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{13\sqrt{7} - 34}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{7} + \left(\dfrac{13\sqrt{7} - 34}{9}\right) = \dfrac{94\sqrt{7} - 34}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{94\sqrt{7} - 34}{9}\)
\(\dfrac{94\sqrt{7} - 34}{9}\)