\(\sqrt{44} + 3\sqrt{99}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{44} = \sqrt{2^{2}\times 11} = 2\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{99} = 3\times 3\sqrt{11} = 9\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{11} + 9\sqrt{11} = (2 + 9)\sqrt{11} = 11\sqrt{11}\)
\(11\sqrt{11}\)
\((4\sqrt{3} + 3)(4\sqrt{3} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{3} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (4\sqrt{3})^{2} = 4^{2}\times 3 = 48\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((4\sqrt{3} + 3)(4\sqrt{3} - 3) = 48 - 9 = 39\)
\(39\)
\(\sqrt{343}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(343 = 7^{2}\times 7\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 7} = 7\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{343} = 7\sqrt{7}\)
\(7\sqrt{7}\)
\((2\sqrt{11} + 1)(2\sqrt{11} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{11} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (2\sqrt{11})^{2} = 2^{2}\times 11 = 44\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((2\sqrt{11} + 1)(2\sqrt{11} - 1) = 44 - 1 = 43\)
\(43\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 6}{3\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{7} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 9\times 7 - 4 = 59\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{11} - 6)(3\sqrt{7} + 2)\)
\(= 9\sqrt{77} + 6\sqrt{11} - 18\sqrt{7} - 12\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{77} + 6\sqrt{11} - 18\sqrt{7} - 12}{59}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{9\sqrt{77} + 6\sqrt{11} - 18\sqrt{7} - 12}{59}\)
\(\dfrac{9\sqrt{77} + 6\sqrt{11} - 18\sqrt{7} - 12}{59}\)
\(\sqrt{99} + 3\sqrt{44}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{99} = \sqrt{3^{2}\times 11} = 3\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{44} = 3\times 2\sqrt{11} = 6\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{11} + 6\sqrt{11} = (3 + 6)\sqrt{11} = 9\sqrt{11}\)
\(9\sqrt{11}\)
\(\sqrt{12} + 4\sqrt{52} + 4\sqrt{27} + 2\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{52} = 4\times 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{27} = 12\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{75} = 10\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((2 + 12 + 10)\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(8\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{12} + 4\sqrt{52} + 4\sqrt{27} + 2\sqrt{75} = 24\sqrt{3} + 8\sqrt{13}\)
\(24\sqrt{3} + 8\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{75} - \dfrac{3\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{75} = 3\sqrt{5^{2}\times 3} = 3\times 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((3\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4) = -8\sqrt{3} - 7\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{8\sqrt{3} + 7}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{3} - \left(\dfrac{8\sqrt{3} + 7}{13}\right) = \dfrac{187\sqrt{3} - 7}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{187\sqrt{3} - 7}{13}\)
\(\dfrac{187\sqrt{3} - 7}{13}\)
\(\sqrt{108} - 4\sqrt{192}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{108} = \sqrt{6^{2}\times 3} = 6\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{192} = 4\times 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(6\sqrt{3} - 32\sqrt{3} = (6 - 32)\sqrt{3} = -26\sqrt{3}\)
\(-26\sqrt{3}\)
\((2\sqrt{13} + 1)(2\sqrt{13} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{13} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (2\sqrt{13})^{2} = 2^{2}\times 13 = 52\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((2\sqrt{13} + 1)(2\sqrt{13} - 1) = 52 - 1 = 51\)
\(51\)
\(\sqrt{245}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(245 = 7^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 5} = 7\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{245} = 7\sqrt{5}\)
\(7\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{112} - \dfrac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{112} = 3\sqrt{4^{2}\times 7} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 4\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 4^{2} = 7 - 16 = -9\)
البسط :\((\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 4) = -\sqrt{7} - 5\)
\(\dfrac{\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} + 4} = \dfrac{\sqrt{7} + 5}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{7} - \left(\dfrac{\sqrt{7} + 5}{9}\right) = \dfrac{107\sqrt{7} - 5}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{107\sqrt{7} - 5}{9}\)
\(\dfrac{107\sqrt{7} - 5}{9}\)
\(\sqrt{192}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(192 = 8^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 3} = 8\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{192} = 8\sqrt{3}\)
\(8\sqrt{3}\)
\(\sqrt{405}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(405 = 9^{2}\times 5\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 5} = 9\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{405} = 9\sqrt{5}\)
\(9\sqrt{5}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{11} + 3} = \dfrac{3(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\(3(\sqrt{11} - 3) = 3\sqrt{11} - 9\)
\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 9}{2}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{11} - 9}{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 9}{2}\)
\(\sqrt{175} - 2\sqrt{112}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{175} = \sqrt{5^{2}\times 7} = 5\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{112} = 2\times 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{7} - 8\sqrt{7} = (5 - 8)\sqrt{7} = -3\sqrt{7}\)
\(-3\sqrt{7}\)
\((\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{7} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (\sqrt{7})^{2} = 1^{2}\times 7 = 7\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) = 7 - 9 = -2\)
\(-2\)
\(\sqrt{32} - 3\sqrt{108} + 2\sqrt{50} + 4\sqrt{8}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{108} = 3\times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{50} = 10\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{8} = 8\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((4 + 10 + 8)\sqrt{2} = 22\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-18\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{32} - 3\sqrt{108} + 2\sqrt{50} + 4\sqrt{8} = 22\sqrt{2} - 18\sqrt{3}\)
\(22\sqrt{2} - 18\sqrt{3}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 2\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{5} - 2} = \dfrac{7(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{5} + 2) = 7\sqrt{5} + 14\)
\(= 7\sqrt{5} + 14\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{5} + 14\)
\(7\sqrt{5} + 14\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 1\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{7(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 2 - 1 = 1\)
البسط :\(7(\sqrt{2} - 1) = 7\sqrt{2} - 7\)
\(= 7\sqrt{2} - 7\)
الكسر في أبسط صورة :\(= 7\sqrt{2} - 7\)
\(7\sqrt{2} - 7\)