\(\dfrac{4}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{4(\sqrt{3} - 3)}{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\(4(\sqrt{3} - 3) = 4\sqrt{3} - 12\)
\(= \dfrac{4\sqrt{3} - 12}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-2\sqrt{3} + 6}{3}\)
\(\dfrac{-2\sqrt{3} + 6}{3}\)
\(3\sqrt{20} + \dfrac{5\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{20} = 3\sqrt{2^{2}\times 5} = 3\times 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((5\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 4) = -18\sqrt{5} + 17\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{18\sqrt{5} - 17}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{5} + \left(\dfrac{18\sqrt{5} - 17}{11}\right) = \dfrac{84\sqrt{5} - 17}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{84\sqrt{5} - 17}{11}\)
\(\dfrac{84\sqrt{5} - 17}{11}\)
\(\sqrt{117}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(117 = 3^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{3^{2}\times 13} = 3\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{117} = 3\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{13}\)
\(\sqrt{176} + 2\sqrt{8} + 2\sqrt{539} + 2\sqrt{275}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{8} = 2\times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{539} = 14\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{275} = 10\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((4 + 14 + 10)\sqrt{11} = 28\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(4\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{176} + 2\sqrt{8} + 2\sqrt{539} + 2\sqrt{275} = 28\sqrt{11} + 4\sqrt{2}\)
\(28\sqrt{11} + 4\sqrt{2}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 1\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
البسط :\(2(\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} - 2\)
\(= \dfrac{2\sqrt{5} - 2}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 6\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} + 6} = \dfrac{2(\sqrt{2} - 6)}{(\sqrt{2} + 6)(\sqrt{2} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 2 - 36 = -34\)
البسط :\(2(\sqrt{2} - 6) = 2\sqrt{2} - 12\)
\(= \dfrac{2\sqrt{2} - 12}{-34}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{2} + 6}{17}\)
\(\dfrac{-\sqrt{2} + 6}{17}\)
\(\sqrt{63} - 3\sqrt{108} + 3\sqrt{112} - 4\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{108} = 3\times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{112} = 12\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{252} = 24\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((3 + 12 - 24)\sqrt{7} = -9\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-18\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{63} - 3\sqrt{108} + 3\sqrt{112} - 4\sqrt{252} = -9\sqrt{7} - 18\sqrt{3}\)
\(-9\sqrt{7} - 18\sqrt{3}\)
\(\sqrt{245} + \sqrt{468} - 2\sqrt{80} + \sqrt{245}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{245} = 7\sqrt{5}\)
\(\sqrt{468} = \times 6\sqrt{13} = 6\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{80} = 8\sqrt{5}\)
\(\sqrt{245} = 7\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((7 - 8 + 7)\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{245} + \sqrt{468} - 2\sqrt{80} + \sqrt{245} = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{13}\)
\(6\sqrt{5} + 6\sqrt{13}\)
\(\sqrt{72}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(72 = 6^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 2} = 6\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
\(6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{245} - \sqrt{48} + 3\sqrt{45} - 3\sqrt{45}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{245} = 7\sqrt{5}\)
\(\sqrt{48} = \times 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{45} = 9\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{45} = 9\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((7 + 9 - 9)\sqrt{5} = 7\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-4\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{245} - \sqrt{48} + 3\sqrt{45} - 3\sqrt{45} = 7\sqrt{5} - 4\sqrt{3}\)
\(7\sqrt{5} - 4\sqrt{3}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 4}{4\sqrt{2} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{2} + 6\)
المقام :\((4\sqrt{2})^{2} - 6^{2} = 16\times 2 - 36 = -4\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} + 4)(4\sqrt{2} + 6)\)
\(= 20\sqrt{22} + 30\sqrt{11} + 16\sqrt{2} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{22} + 30\sqrt{11} + 16\sqrt{2} + 24}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-10\sqrt{22} - 15\sqrt{11} - 8\sqrt{2} - 12}{2}\)
\(\dfrac{-10\sqrt{22} - 15\sqrt{11} - 8\sqrt{2} - 12}{2}\)
\(3\sqrt{52} - \dfrac{5\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{52} = 3\sqrt{2^{2}\times 13} = 3\times 2\sqrt{13} = 6\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 13 - 16 = -3\)
البسط :\((5\sqrt{13} - 4)(\sqrt{13} - 4) = -24\sqrt{13} + 81\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 4}{\sqrt{13} + 4} = 8\sqrt{13} - 27\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{13} - \left(8\sqrt{13} - 27\right) = -2\sqrt{13} + 27\)
النتيجة النهائية :\(= -2\sqrt{13} + 27\)
\(-2\sqrt{13} + 27\)
\(5\sqrt{117} + \dfrac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{117} = 5\sqrt{3^{2}\times 13} = 5\times 3\sqrt{13} = 15\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\((\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 3) = -8\sqrt{13} + 28\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 3} = -2\sqrt{13} + 7\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{13} + \left(-2\sqrt{13} + 7\right) = 13\sqrt{13} + 7\)
النتيجة النهائية :\(= 13\sqrt{13} + 7\)
\(13\sqrt{13} + 7\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 1}{4\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 16\times 11 - 25 = 151\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{7} - 1)(4\sqrt{11} + 5)\)
\(= 12\sqrt{77} + 15\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{7}\times\sqrt{11} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{77} + 15\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 5}{151}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{12\sqrt{77} + 15\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 5}{151}\)
\(\dfrac{12\sqrt{77} + 15\sqrt{7} - 4\sqrt{11} - 5}{151}\)
\(\sqrt{50}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(50 = 5^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 2} = 5\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{80} - \sqrt{108} + 4\sqrt{245} + 3\sqrt{180}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(\sqrt{108} = \times 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{245} = 28\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{180} = 18\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((4 + 28 + 18)\sqrt{5} = 50\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-6\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{80} - \sqrt{108} + 4\sqrt{245} + 3\sqrt{180} = 50\sqrt{5} - 6\sqrt{3}\)
\(50\sqrt{5} - 6\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(75 = 5^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 3} = 5\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{3}\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 3}{\sqrt{11} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 2\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 1\times 11 - 4 = 7\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{2} + 3)(\sqrt{11} + 2)\)
\(= 5\sqrt{22} + 10\sqrt{2} + 3\sqrt{11} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{11} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{22} + 10\sqrt{2} + 3\sqrt{11} + 6}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{22} + 10\sqrt{2} + 3\sqrt{11} + 6}{7}\)
\(\dfrac{5\sqrt{22} + 10\sqrt{2} + 3\sqrt{11} + 6}{7}\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} - 6}{\sqrt{7} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 5\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 1\times 7 - 25 = -18\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{11} - 6)(\sqrt{7} + 5)\)
\(= 2\sqrt{77} + 10\sqrt{11} - 6\sqrt{7} - 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{77} + 10\sqrt{11} - 6\sqrt{7} - 30}{-18}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{77} - 5\sqrt{11} + 3\sqrt{7} + 15}{9}\)
\(\dfrac{-\sqrt{77} - 5\sqrt{11} + 3\sqrt{7} + 15}{9}\)
\(\sqrt{1053}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(1053 = 9^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 13} = 9\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{1053} = 9\sqrt{13}\)
\(9\sqrt{13}\)