\(\dfrac{3\sqrt{5} - 4}{3\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{7} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 9\times 7 - 4 = 59\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} - 4)(3\sqrt{7} + 2)\)
\(= 9\sqrt{35} + 6\sqrt{5} - 12\sqrt{7} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{7} = \sqrt{35}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{35} + 6\sqrt{5} - 12\sqrt{7} - 8}{59}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{9\sqrt{35} + 6\sqrt{5} - 12\sqrt{7} - 8}{59}\)
\(\dfrac{9\sqrt{35} + 6\sqrt{5} - 12\sqrt{7} - 8}{59}\)
\(\sqrt{99} + 4\sqrt{18} + 2\sqrt{275} - 2\sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{99} = 3\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{18} = 4\times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{275} = 10\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{396} = 12\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((3 + 10 - 12)\sqrt{11} = 1\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{99} + 4\sqrt{18} + 2\sqrt{275} - 2\sqrt{396} = \sqrt{11} + 12\sqrt{2}\)
\(\sqrt{11} + 12\sqrt{2}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 5}{2\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{2} - 1\)
المقام :\((2\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 4\times 2 - 1 = 7\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} + 5)(2\sqrt{2} - 1)\)
\(= 10\sqrt{22} - 5\sqrt{11} + 10\sqrt{2} - 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{10\sqrt{22} - 5\sqrt{11} + 10\sqrt{2} - 5}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{10\sqrt{22} - 5\sqrt{11} + 10\sqrt{2} - 5}{7}\)
\(\dfrac{10\sqrt{22} - 5\sqrt{11} + 10\sqrt{2} - 5}{7}\)
\(4\sqrt{117} - \dfrac{\sqrt{13} + 2}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{117} = 4\sqrt{3^{2}\times 13} = 4\times 3\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 1) = \sqrt{13} + 11\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 2}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{\sqrt{13} + 11}{12}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{13} - \left(\dfrac{\sqrt{13} + 11}{12}\right) = \dfrac{143\sqrt{13} - 11}{12}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{143\sqrt{13} - 11}{12}\)
\(\dfrac{143\sqrt{13} - 11}{12}\)
\(3\sqrt{99} - \dfrac{4\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{99} = 3\sqrt{3^{2}\times 11} = 3\times 3\sqrt{11} = 9\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 3\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2\)
البسط :\((4\sqrt{11} + 6)(\sqrt{11} - 3) = -6\sqrt{11} + 26\)
\(\dfrac{4\sqrt{11} + 6}{\sqrt{11} + 3} = -3\sqrt{11} + 13\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{11} - \left(-3\sqrt{11} + 13\right) = 12\sqrt{11} - 13\)
النتيجة النهائية :\(= 12\sqrt{11} - 13\)
\(12\sqrt{11} - 13\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 1}{3\sqrt{11} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{11} - 3\)
المقام :\((3\sqrt{11})^{2} - 3^{2} = 9\times 11 - 9 = 90\)
ننشر البسط :\((4\sqrt{3} + 1)(3\sqrt{11} - 3)\)
\(= 12\sqrt{33} - 12\sqrt{3} + 3\sqrt{11} - 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{11} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{33} - 12\sqrt{3} + 3\sqrt{11} - 3}{90}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{4\sqrt{33} - 4\sqrt{3} + \sqrt{11} - 1}{30}\)
\(\dfrac{4\sqrt{33} - 4\sqrt{3} + \sqrt{11} - 1}{30}\)
\(4\sqrt{325} + \dfrac{5\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{325} = 4\sqrt{5^{2}\times 13} = 4\times 5\sqrt{13} = 20\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 5\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\((5\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 5) = -30\sqrt{13} + 90\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 5} = \dfrac{5\sqrt{13} - 15}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{13} + \left(\dfrac{5\sqrt{13} - 15}{2}\right) = \dfrac{45\sqrt{13} - 15}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{45\sqrt{13} - 15}{2}\)
\(\dfrac{45\sqrt{13} - 15}{2}\)
\(\sqrt{128}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(128 = 8^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 2} = 8\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{128} = 8\sqrt{2}\)
\(8\sqrt{2}\)
\(\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(75 = 5^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 3} = 5\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{176} - 3\sqrt{252} - \sqrt{44} - \sqrt{99}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{252} = 3\times 6\sqrt{7} = 18\sqrt{7}\)
\(\sqrt{44} = 2\sqrt{11}\)
\(\sqrt{99} = 3\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((4 - 2 - 3)\sqrt{11} = -1\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-18\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{176} - 3\sqrt{252} - \sqrt{44} - \sqrt{99} = -\sqrt{11} - 18\sqrt{7}\)
\(-\sqrt{11} - 18\sqrt{7}\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{7(\sqrt{2} - 5)}{(\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 5)}\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\(7(\sqrt{2} - 5) = 7\sqrt{2} - 35\)
\(= \dfrac{7\sqrt{2} - 35}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{2} + 35}{23}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{2} + 35}{23}\)
\(\sqrt{539}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(539 = 7^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 11} = 7\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{539} = 7\sqrt{11}\)
\(7\sqrt{11}\)
\(\sqrt{704}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(704 = 8^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{8^{2}\times 11} = 8\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{704} = 8\sqrt{11}\)
\(8\sqrt{11}\)
\(\sqrt{117} + 3\sqrt{832}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{117} = \sqrt{3^{2}\times 13} = 3\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{832} = 3\times 8\sqrt{13} = 24\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{13} + 24\sqrt{13} = (3 + 24)\sqrt{13} = 27\sqrt{13}\)
\(27\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{325} + \dfrac{3\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{325} = 3\sqrt{5^{2}\times 13} = 3\times 5\sqrt{13} = 15\sqrt{13}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\((3\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} - 1) = -8\sqrt{13} + 44\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{-2\sqrt{13} + 11}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{13} + \left(\dfrac{-2\sqrt{13} + 11}{3}\right) = \dfrac{43\sqrt{13} + 11}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{43\sqrt{13} + 11}{3}\)
\(\dfrac{43\sqrt{13} + 11}{3}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 3\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} - 3} = \dfrac{3(\sqrt{13} + 3)}{(\sqrt{13} - 3)(\sqrt{13} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\(3(\sqrt{13} + 3) = 3\sqrt{13} + 9\)
\(= \dfrac{3\sqrt{13} + 9}{4}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{3\sqrt{13} + 9}{4}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 9}{4}\)
\(\sqrt{48} - \sqrt{325} + 4\sqrt{27} - \sqrt{48}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{325} = \times 5\sqrt{13} = 5\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{27} = 12\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((4 + 12 - 4)\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-5\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{48} - \sqrt{325} + 4\sqrt{27} - \sqrt{48} = 12\sqrt{3} - 5\sqrt{13}\)
\(12\sqrt{3} - 5\sqrt{13}\)
\(\sqrt{12} - 4\sqrt{192}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{12} = \sqrt{2^{2}\times 3} = 2\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{192} = 4\times 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{3} - 32\sqrt{3} = (2 - 32)\sqrt{3} = -30\sqrt{3}\)
\(-30\sqrt{3}\)
\(\sqrt{252} + \sqrt{20} - \sqrt{343} + 2\sqrt{175}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{252} = 6\sqrt{7}\)
\(\sqrt{20} = \times 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{343} = 7\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{175} = 10\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((6 - 7 + 10)\sqrt{7} = 9\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(2\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{252} + \sqrt{20} - \sqrt{343} + 2\sqrt{175} = 9\sqrt{7} + 2\sqrt{5}\)
\(9\sqrt{7} + 2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{112} + \dfrac{3\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{112} = 2\sqrt{4^{2}\times 7} = 2\times 4\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 5\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 7 - 25 = -18\)
البسط :\((3\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} - 5) = -16\sqrt{7} + 26\)
\(\dfrac{3\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 5} = \dfrac{8\sqrt{7} - 13}{9}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(8\sqrt{7} + \left(\dfrac{8\sqrt{7} - 13}{9}\right) = \dfrac{80\sqrt{7} - 13}{9}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{80\sqrt{7} - 13}{9}\)
\(\dfrac{80\sqrt{7} - 13}{9}\)