\(\sqrt{252}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(252 = 6^{2}\times 7\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 7} = 6\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{252} = 6\sqrt{7}\)
\(6\sqrt{7}\)
\(5\sqrt{275} + \dfrac{3\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{275} = 5\sqrt{5^{2}\times 11} = 5\times 5\sqrt{11} = 25\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\((3\sqrt{11} - 6)(\sqrt{11} - 1) = -9\sqrt{11} + 39\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} - 6}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{-9\sqrt{11} + 39}{10}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(25\sqrt{11} + \left(\dfrac{-9\sqrt{11} + 39}{10}\right) = \dfrac{241\sqrt{11} + 39}{10}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{241\sqrt{11} + 39}{10}\)
\(\dfrac{241\sqrt{11} + 39}{10}\)
\(\sqrt{539}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(539 = 7^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 11} = 7\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{539} = 7\sqrt{11}\)
\(7\sqrt{11}\)
\((3\sqrt{7} + 4)(3\sqrt{7} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{7} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (3\sqrt{7})^{2} = 3^{2}\times 7 = 63\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((3\sqrt{7} + 4)(3\sqrt{7} - 4) = 63 - 16 = 47\)
\(47\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{13} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 5\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{13} - 5} = \dfrac{6(\sqrt{13} + 5)}{(\sqrt{13} - 5)(\sqrt{13} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 13 - 25 = -12\)
البسط :\(6(\sqrt{13} + 5) = 6\sqrt{13} + 30\)
\(= \dfrac{6\sqrt{13} + 30}{-12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{13} - 5}{2}\)
\(\dfrac{-\sqrt{13} - 5}{2}\)
\((4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{5} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (4\sqrt{5})^{2} = 4^{2}\times 5 = 80\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4) = 80 - 16 = 64\)
\(64\)
\(\sqrt{252} - 2\sqrt{108} + 3\sqrt{28} + 4\sqrt{343}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{252} = 6\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{108} = 2\times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{28} = 6\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{343} = 28\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((6 + 6 + 28)\sqrt{7} = 40\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{252} - 2\sqrt{108} + 3\sqrt{28} + 4\sqrt{343} = 40\sqrt{7} - 12\sqrt{3}\)
\(40\sqrt{7} - 12\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{50} + \dfrac{4\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{50} = 3\sqrt{5^{2}\times 2} = 3\times 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((4\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 2) = -9\sqrt{2} + 10\)
\(\dfrac{4\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{9\sqrt{2} - 10}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(15\sqrt{2} + \left(\dfrac{9\sqrt{2} - 10}{2}\right) = \dfrac{39\sqrt{2} - 10}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{39\sqrt{2} - 10}{2}\)
\(\dfrac{39\sqrt{2} - 10}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 3}{2\sqrt{13} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{13} - 5\)
المقام :\((2\sqrt{13})^{2} - 5^{2} = 4\times 13 - 25 = 27\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 3)(2\sqrt{13} - 5)\)
\(= 2\sqrt{65} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{13} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{2\sqrt{65} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{13} - 15}{27}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{2\sqrt{65} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{13} - 15}{27}\)
\(\dfrac{2\sqrt{65} - 5\sqrt{5} + 6\sqrt{13} - 15}{27}\)
\((\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{11} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (\sqrt{11})^{2} = 1^{2}\times 11 = 11\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 5) = 11 - 25 = -14\)
\(-14\)
\((3\sqrt{5} + 6)(3\sqrt{5} - 6)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{5} \quad ; \quad y = 6\)
\(x^{2} = (3\sqrt{5})^{2} = 3^{2}\times 5 = 45\)
\(y^{2} = 6^{2} = 36\)
إذن :\((3\sqrt{5} + 6)(3\sqrt{5} - 6) = 45 - 36 = 9\)
\(9\)
\((\sqrt{5} + 6)(\sqrt{5} - 6)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{5} \quad ; \quad y = 6\)
\(x^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 1^{2}\times 5 = 5\)
\(y^{2} = 6^{2} = 36\)
إذن :\((\sqrt{5} + 6)(\sqrt{5} - 6) = 5 - 36 = -31\)
\(-31\)
\(\sqrt{72}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(72 = 6^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 2} = 6\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
\(6\sqrt{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{3} - 1}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 1\times 5 - 16 = -11\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{3} - 1)(\sqrt{5} - 4)\)
\(= 3\sqrt{15} - 12\sqrt{3} - \sqrt{5} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{5} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{15} - 12\sqrt{3} - \sqrt{5} + 4}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{15} + 12\sqrt{3} + \sqrt{5} - 4}{11}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{15} + 12\sqrt{3} + \sqrt{5} - 4}{11}\)
\((5\sqrt{3} + 7)(5\sqrt{3} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 5\sqrt{3} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (5\sqrt{3})^{2} = 5^{2}\times 3 = 75\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((5\sqrt{3} + 7)(5\sqrt{3} - 7) = 75 - 49 = 26\)
\(26\)
\(\sqrt{176} + 4\sqrt{18} + 2\sqrt{539} - 2\sqrt{44}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{18} = 4\times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{539} = 14\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{44} = 4\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((4 + 14 - 4)\sqrt{11} = 14\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{176} + 4\sqrt{18} + 2\sqrt{539} - 2\sqrt{44} = 14\sqrt{11} + 12\sqrt{2}\)
\(14\sqrt{11} + 12\sqrt{2}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 4\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{3} - 4} = \dfrac{6(\sqrt{3} + 4)}{(\sqrt{3} - 4)(\sqrt{3} + 4)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\(6(\sqrt{3} + 4) = 6\sqrt{3} + 24\)
\(= \dfrac{6\sqrt{3} + 24}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-6\sqrt{3} - 24}{13}\)
\(\dfrac{-6\sqrt{3} - 24}{13}\)
\(\sqrt{275} + 3\sqrt{125} - 2\sqrt{44} - \sqrt{275}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{275} = 5\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{125} = 3\times 5\sqrt{5} = 15\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{44} = 4\sqrt{11}\)
\(\sqrt{275} = 5\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((5 - 4 - 5)\sqrt{11} = -4\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(15\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{275} + 3\sqrt{125} - 2\sqrt{44} - \sqrt{275} = -4\sqrt{11} + 15\sqrt{5}\)
\(-4\sqrt{11} + 15\sqrt{5}\)
\(\sqrt{343}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(343 = 7^{2}\times 7\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{7^{2}\times 7} = 7\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{343} = 7\sqrt{7}\)
\(7\sqrt{7}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 3\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5} - 3} = \dfrac{1(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 3^{2} = 5 - 9 = -4\)
البسط :\(1(\sqrt{5} + 3) = \sqrt{5} + 3\)
\(= \dfrac{\sqrt{5} + 3}{-4}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-\sqrt{5} - 3}{4}\)
\(\dfrac{-\sqrt{5} - 3}{4}\)