\(\sqrt{52} + \sqrt{20} - \sqrt{117} + 4\sqrt{52}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
\(\sqrt{20} = \times 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{117} = 3\sqrt{13}\)
\(4\sqrt{52} = 8\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{13}\) :
\((2 - 3 + 8)\sqrt{13} = 7\sqrt{13}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(2\sqrt{5}\)
إذن :\(\sqrt{52} + \sqrt{20} - \sqrt{117} + 4\sqrt{52} = 7\sqrt{13} + 2\sqrt{5}\)
\(7\sqrt{13} + 2\sqrt{5}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{13} - 1} = \dfrac{3(\sqrt{13} + 1)}{(\sqrt{13} - 1)(\sqrt{13} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(3(\sqrt{13} + 1) = 3\sqrt{13} + 3\)
\(= \dfrac{3\sqrt{13} + 3}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{13} + 1}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 1}{4}\)
\((2\sqrt{3} + 3)(2\sqrt{3} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{3} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (2\sqrt{3})^{2} = 2^{2}\times 3 = 12\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((2\sqrt{3} + 3)(2\sqrt{3} - 3) = 12 - 9 = 3\)
\(3\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 6\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{13} - 6} = \dfrac{7(\sqrt{13} + 6)}{(\sqrt{13} - 6)(\sqrt{13} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 6^{2} = 13 - 36 = -23\)
البسط :\(7(\sqrt{13} + 6) = 7\sqrt{13} + 42\)
\(= \dfrac{7\sqrt{13} + 42}{-23}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{13} - 42}{23}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{13} - 42}{23}\)
\(\sqrt{112} + \sqrt{448}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{112} = \sqrt{4^{2}\times 7} = 4\sqrt{7}\)
\(\sqrt{448} = \times 8\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(4\sqrt{7} + 8\sqrt{7} = (4 + 8)\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
\(12\sqrt{7}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 2\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} + 2} = \dfrac{5(\sqrt{11} - 2)}{(\sqrt{11} + 2)(\sqrt{11} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 2^{2} = 11 - 4 = 7\)
البسط :\(5(\sqrt{11} - 2) = 5\sqrt{11} - 10\)
\(= \dfrac{5\sqrt{11} - 10}{7}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 10}{7}\)
\(\sqrt{75} - \sqrt{72} - 4\sqrt{48} - 2\sqrt{147}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{72} = \times 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{48} = 16\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{147} = 14\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((5 - 16 - 14)\sqrt{3} = -25\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-6\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{75} - \sqrt{72} - 4\sqrt{48} - 2\sqrt{147} = -25\sqrt{3} - 6\sqrt{2}\)
\(-25\sqrt{3} - 6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{80} - 3\sqrt{112} - 4\sqrt{245} + 2\sqrt{125}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{112} = 3\times 4\sqrt{7} = 12\sqrt{7}\)
\(4\sqrt{245} = 28\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{125} = 10\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((4 - 28 + 10)\sqrt{5} = -14\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{80} - 3\sqrt{112} - 4\sqrt{245} + 2\sqrt{125} = -14\sqrt{5} - 12\sqrt{7}\)
\(-14\sqrt{5} - 12\sqrt{7}\)
\(\sqrt{75}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(75 = 5^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{5^{2}\times 3} = 5\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{99} + 3\sqrt{28} - 2\sqrt{44} - 2\sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{99} = 3\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{28} = 3\times 2\sqrt{7} = 6\sqrt{7}\)
\(2\sqrt{44} = 4\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{396} = 12\sqrt{11}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{11}\) :
\((3 - 4 - 12)\sqrt{11} = -13\sqrt{11}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(6\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{99} + 3\sqrt{28} - 2\sqrt{44} - 2\sqrt{396} = -13\sqrt{11} + 6\sqrt{7}\)
\(-13\sqrt{11} + 6\sqrt{7}\)
\(\sqrt{891}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(891 = 9^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{9^{2}\times 11} = 9\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{891} = 9\sqrt{11}\)
\(9\sqrt{11}\)
\(2\sqrt{12} - \dfrac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{12} = 2\sqrt{2^{2}\times 3} = 2\times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((2\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 5) = -9\sqrt{3} + 1\)
\(\dfrac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{9\sqrt{3} - 1}{22}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(4\sqrt{3} - \left(\dfrac{9\sqrt{3} - 1}{22}\right) = \dfrac{79\sqrt{3} + 1}{22}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{79\sqrt{3} + 1}{22}\)
\(\dfrac{79\sqrt{3} + 1}{22}\)
\(\sqrt{48}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(48 = 4^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 3} = 4\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{3}\)
\((3\sqrt{2} + 1)(3\sqrt{2} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{2} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (3\sqrt{2})^{2} = 3^{2}\times 2 = 18\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((3\sqrt{2} + 1)(3\sqrt{2} - 1) = 18 - 1 = 17\)
\(17\)
\((2\sqrt{5} + 7)(2\sqrt{5} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{5} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (2\sqrt{5})^{2} = 2^{2}\times 5 = 20\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((2\sqrt{5} + 7)(2\sqrt{5} - 7) = 20 - 49 = -29\)
\(-29\)
\(\dfrac{2\sqrt{2} + 4}{3\sqrt{3} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{3} + 2\)
المقام :\((3\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 9\times 3 - 4 = 23\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{2} + 4)(3\sqrt{3} + 2)\)
\(= 6\sqrt{6} + 4\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{2}\times\sqrt{3} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{6} + 4\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 8}{23}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{6\sqrt{6} + 4\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 8}{23}\)
\(\dfrac{6\sqrt{6} + 4\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 8}{23}\)
\(\sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(176 = 4^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{11}\)
\(\dfrac{2\sqrt{11} + 4}{3\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{7} + 6\)
المقام :\((3\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 9\times 7 - 36 = 27\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{11} + 4)(3\sqrt{7} + 6)\)
\(= 6\sqrt{77} + 12\sqrt{11} + 12\sqrt{7} + 24\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{6\sqrt{77} + 12\sqrt{11} + 12\sqrt{7} + 24}{27}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{2\sqrt{77} + 4\sqrt{11} + 4\sqrt{7} + 8}{9}\)
\(\dfrac{2\sqrt{77} + 4\sqrt{11} + 4\sqrt{7} + 8}{9}\)
\(\dfrac{5\sqrt{13} - 1}{4\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{11} + 5\)
المقام :\((4\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 16\times 11 - 25 = 151\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{13} - 1)(4\sqrt{11} + 5)\)
\(= 20\sqrt{143} + 25\sqrt{13} - 4\sqrt{11} - 5\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{11} = \sqrt{143}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{143} + 25\sqrt{13} - 4\sqrt{11} - 5}{151}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{20\sqrt{143} + 25\sqrt{13} - 4\sqrt{11} - 5}{151}\)
\(\dfrac{20\sqrt{143} + 25\sqrt{13} - 4\sqrt{11} - 5}{151}\)
\(2\sqrt{75} - \dfrac{4\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{75} = 2\sqrt{5^{2}\times 3} = 2\times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 5\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 3 - 25 = -22\)
البسط :\((4\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 5) = -18\sqrt{3} + 2\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 5} = \dfrac{9\sqrt{3} - 1}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{3} - \left(\dfrac{9\sqrt{3} - 1}{11}\right) = \dfrac{101\sqrt{3} + 1}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{101\sqrt{3} + 1}{11}\)
\(\dfrac{101\sqrt{3} + 1}{11}\)