\(\dfrac{5\sqrt{13} - 6}{\sqrt{3} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} + 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 1\times 3 - 9 = -6\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{13} - 6)(\sqrt{3} + 3)\)
\(= 5\sqrt{39} + 15\sqrt{13} - 6\sqrt{3} - 18\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{3} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{39} + 15\sqrt{13} - 6\sqrt{3} - 18}{-6}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{39} - 15\sqrt{13} + 6\sqrt{3} + 18}{6}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{39} - 15\sqrt{13} + 6\sqrt{3} + 18}{6}\)
\(\sqrt{12} - 3\sqrt{176} - \sqrt{75} + 4\sqrt{27}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{176} = 3\times 4\sqrt{11} = 12\sqrt{11}\)
\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{27} = 12\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\) :
\((2 - 5 + 12)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{12} - 3\sqrt{176} - \sqrt{75} + 4\sqrt{27} = 9\sqrt{3} - 12\sqrt{11}\)
\(9\sqrt{3} - 12\sqrt{11}\)
\(3\sqrt{99} - \dfrac{\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{99} = 3\sqrt{3^{2}\times 11} = 3\times 3\sqrt{11} = 9\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\((\sqrt{11} + 4)(\sqrt{11} - 1) = 3\sqrt{11} + 7\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 4}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{3\sqrt{11} + 7}{10}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{11} - \left(\dfrac{3\sqrt{11} + 7}{10}\right) = \dfrac{87\sqrt{11} - 7}{10}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{87\sqrt{11} - 7}{10}\)
\(\dfrac{87\sqrt{11} - 7}{10}\)
\(\dfrac{5\sqrt{5} + 6}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 1\times 11 - 25 = -14\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{5} + 6)(\sqrt{11} + 5)\)
\(= 5\sqrt{55} + 25\sqrt{5} + 6\sqrt{11} + 30\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{11} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{55} + 25\sqrt{5} + 6\sqrt{11} + 30}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{55} - 25\sqrt{5} - 6\sqrt{11} - 30}{14}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{55} - 25\sqrt{5} - 6\sqrt{11} - 30}{14}\)
\(\sqrt{80} - 4\sqrt{28} - 3\sqrt{45} - 2\sqrt{125}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{28} = 4\times 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{45} = 9\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{125} = 10\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((4 - 9 - 10)\sqrt{5} = -15\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-8\sqrt{7}\)
إذن :\(\sqrt{80} - 4\sqrt{28} - 3\sqrt{45} - 2\sqrt{125} = -15\sqrt{5} - 8\sqrt{7}\)
\(-15\sqrt{5} - 8\sqrt{7}\)
\(\sqrt{176}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(176 = 4^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 11} = 4\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{176} = 4\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{11}\)
\(\sqrt{72}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(72 = 6^{2}\times 2\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 2} = 6\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
\(6\sqrt{2}\)
\(\dfrac{3\sqrt{11} + 3}{4\sqrt{3} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{3} - 1\)
المقام :\((4\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 16\times 3 - 1 = 47\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{11} + 3)(4\sqrt{3} - 1)\)
\(= 12\sqrt{33} - 3\sqrt{11} + 12\sqrt{3} - 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{3} = \sqrt{33}\)
\(= \dfrac{12\sqrt{33} - 3\sqrt{11} + 12\sqrt{3} - 3}{47}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{12\sqrt{33} - 3\sqrt{11} + 12\sqrt{3} - 3}{47}\)
\(\dfrac{12\sqrt{33} - 3\sqrt{11} + 12\sqrt{3} - 3}{47}\)
\((\sqrt{2} + 7)(\sqrt{2} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{2} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 1^{2}\times 2 = 2\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((\sqrt{2} + 7)(\sqrt{2} - 7) = 2 - 49 = -47\)
\(-47\)
\(\sqrt{80} - 3\sqrt{208} + 2\sqrt{20} - 3\sqrt{245}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{208} = 3\times 4\sqrt{13} = 12\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{20} = 4\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{245} = 21\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((4 + 4 - 21)\sqrt{5} = -13\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-12\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{80} - 3\sqrt{208} + 2\sqrt{20} - 3\sqrt{245} = -13\sqrt{5} - 12\sqrt{13}\)
\(-13\sqrt{5} - 12\sqrt{13}\)
\((\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{5} \quad ; \quad y = 1\)
\(x^{2} = (\sqrt{5})^{2} = 1^{2}\times 5 = 5\)
\(y^{2} = 1^{2} = 1\)
إذن :\((\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4\)
\(4\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{8(\sqrt{7} - 2)}{(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\(8(\sqrt{7} - 2) = 8\sqrt{7} - 16\)
\(= \dfrac{8\sqrt{7} - 16}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{8\sqrt{7} - 16}{3}\)
\(\dfrac{8\sqrt{7} - 16}{3}\)
\((3\sqrt{3} + 2)(3\sqrt{3} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{3} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (3\sqrt{3})^{2} = 3^{2}\times 3 = 27\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((3\sqrt{3} + 2)(3\sqrt{3} - 2) = 27 - 4 = 23\)
\(23\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 6\)
\(\dfrac{7}{\sqrt{7} - 6} = \dfrac{7(\sqrt{7} + 6)}{(\sqrt{7} - 6)(\sqrt{7} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 6^{2} = 7 - 36 = -29\)
البسط :\(7(\sqrt{7} + 6) = 7\sqrt{7} + 42\)
\(= \dfrac{7\sqrt{7} + 42}{-29}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-7\sqrt{7} - 42}{29}\)
\(\dfrac{-7\sqrt{7} - 42}{29}\)
\(\sqrt{48}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(48 = 4^{2}\times 3\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{4^{2}\times 3} = 4\sqrt{3}\)
إذن :\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5} + 2}{\sqrt{13} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 4\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 1\times 13 - 16 = -3\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{5} + 2)(\sqrt{13} - 4)\)
\(= 3\sqrt{65} - 12\sqrt{5} + 2\sqrt{13} - 8\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{3\sqrt{65} - 12\sqrt{5} + 2\sqrt{13} - 8}{-3}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{65} + 12\sqrt{5} - 2\sqrt{13} + 8}{3}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{65} + 12\sqrt{5} - 2\sqrt{13} + 8}{3}\)
\(\sqrt{52}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(52 = 2^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{2^{2}\times 13} = 2\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
\(2\sqrt{13}\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{11} + 5\)
\(\dfrac{5}{\sqrt{11} - 5} = \dfrac{5(\sqrt{11} + 5)}{(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)}\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 5^{2} = 11 - 25 = -14\)
البسط :\(5(\sqrt{11} + 5) = 5\sqrt{11} + 25\)
\(= \dfrac{5\sqrt{11} + 25}{-14}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{11} - 25}{14}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{11} - 25}{14}\)
\(\sqrt{18} + 2\sqrt{396} + 4\sqrt{50} + \sqrt{8}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{396} = 2\times 6\sqrt{11} = 12\sqrt{11}\)
\(4\sqrt{50} = 20\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{2}\) :
\((3 + 20 + 2)\sqrt{2} = 25\sqrt{2}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(12\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{18} + 2\sqrt{396} + 4\sqrt{50} + \sqrt{8} = 25\sqrt{2} + 12\sqrt{11}\)
\(25\sqrt{2} + 12\sqrt{11}\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} - 4}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 1\times 13 - 1 = 12\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} - 4)(\sqrt{13} - 1)\)
\(= 5\sqrt{39} - 5\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{39} - 5\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 4}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{39} - 5\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 4}{12}\)
\(\dfrac{5\sqrt{39} - 5\sqrt{3} - 4\sqrt{13} + 4}{12}\)