\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} + 1\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{13} - 1} = \dfrac{1(\sqrt{13} + 1)}{(\sqrt{13} - 1)(\sqrt{13} + 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(1(\sqrt{13} + 1) = \sqrt{13} + 1\)
\(= \dfrac{\sqrt{13} + 1}{12}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{\sqrt{13} + 1}{12}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} + 1}{12}\)
\(2\sqrt{50} + \dfrac{5\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{50} = 2\sqrt{5^{2}\times 2} = 2\times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 5\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 2 - 25 = -23\)
البسط :\((5\sqrt{2} + 5)(\sqrt{2} - 5) = -20\sqrt{2} - 15\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} + 5}{\sqrt{2} + 5} = \dfrac{20\sqrt{2} + 15}{23}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{2} + \left(\dfrac{20\sqrt{2} + 15}{23}\right) = \dfrac{250\sqrt{2} + 15}{23}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{250\sqrt{2} + 15}{23}\)
\(\dfrac{250\sqrt{2} + 15}{23}\)
\(\dfrac{3\sqrt{13} + 2}{3\sqrt{2} + 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{2} - 5\)
المقام :\((3\sqrt{2})^{2} - 5^{2} = 9\times 2 - 25 = -7\)
ننشر البسط :\((3\sqrt{13} + 2)(3\sqrt{2} - 5)\)
\(= 9\sqrt{26} - 15\sqrt{13} + 6\sqrt{2} - 10\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{13}\times\sqrt{2} = \sqrt{26}\)
\(= \dfrac{9\sqrt{26} - 15\sqrt{13} + 6\sqrt{2} - 10}{-7}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-9\sqrt{26} + 15\sqrt{13} - 6\sqrt{2} + 10}{7}\)
\(\dfrac{-9\sqrt{26} + 15\sqrt{13} - 6\sqrt{2} + 10}{7}\)
\(\sqrt{45} + 3\sqrt{320}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{45} = \sqrt{3^{2}\times 5} = 3\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{320} = 3\times 8\sqrt{5} = 24\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(3\sqrt{5} + 24\sqrt{5} = (3 + 24)\sqrt{5} = 27\sqrt{5}\)
\(27\sqrt{5}\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
\(\dfrac{3}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{3(\sqrt{5} - 4)}{(\sqrt{5} + 4)(\sqrt{5} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\(3(\sqrt{5} - 4) = 3\sqrt{5} - 12\)
\(= \dfrac{3\sqrt{5} - 12}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-3\sqrt{5} + 12}{11}\)
\(\dfrac{-3\sqrt{5} + 12}{11}\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} - 4}{4\sqrt{2} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{2} - 1\)
المقام :\((4\sqrt{2})^{2} - 1^{2} = 16\times 2 - 1 = 31\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} - 4)(4\sqrt{2} - 1)\)
\(= 20\sqrt{6} - 5\sqrt{3} - 16\sqrt{2} + 4\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{2} = \sqrt{6}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{6} - 5\sqrt{3} - 16\sqrt{2} + 4}{31}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{20\sqrt{6} - 5\sqrt{3} - 16\sqrt{2} + 4}{31}\)
\(\dfrac{20\sqrt{6} - 5\sqrt{3} - 16\sqrt{2} + 4}{31}\)
\((\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 2)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{13} \quad ; \quad y = 2\)
\(x^{2} = (\sqrt{13})^{2} = 1^{2}\times 13 = 13\)
\(y^{2} = 2^{2} = 4\)
إذن :\((\sqrt{13} + 2)(\sqrt{13} - 2) = 13 - 4 = 9\)
\(9\)
\((2\sqrt{2} + 7)(2\sqrt{2} - 7)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 2\sqrt{2} \quad ; \quad y = 7\)
\(x^{2} = (2\sqrt{2})^{2} = 2^{2}\times 2 = 8\)
\(y^{2} = 7^{2} = 49\)
إذن :\((2\sqrt{2} + 7)(2\sqrt{2} - 7) = 8 - 49 = -41\)
\(-41\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
\(\dfrac{4}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{4(\sqrt{5} - 4)}{(\sqrt{5} + 4)(\sqrt{5} - 4)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\(4(\sqrt{5} - 4) = 4\sqrt{5} - 16\)
\(= \dfrac{4\sqrt{5} - 16}{-11}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{5} + 16}{11}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{5} + 16}{11}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 4}{4\sqrt{5} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{5} + 4\)
المقام :\((4\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 16\times 5 - 16 = 64\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} + 4)(4\sqrt{5} + 4)\)
\(= 20\sqrt{55} + 20\sqrt{11} + 16\sqrt{5} + 16\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{5} = \sqrt{55}\)
\(= \dfrac{20\sqrt{55} + 20\sqrt{11} + 16\sqrt{5} + 16}{64}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{55} + 5\sqrt{11} + 4\sqrt{5} + 4}{16}\)
\(\dfrac{5\sqrt{55} + 5\sqrt{11} + 4\sqrt{5} + 4}{16}\)
\(3\sqrt{63} + \dfrac{4\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{63} = 3\sqrt{3^{2}\times 7} = 3\times 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{7} - 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 7 - 4 = 3\)
البسط :\((4\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 2) = -5\sqrt{7} + 22\)
\(\dfrac{4\sqrt{7} + 3}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{-5\sqrt{7} + 22}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{7} + \left(\dfrac{-5\sqrt{7} + 22}{3}\right) = \dfrac{22\sqrt{7} + 22}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{22\sqrt{7} + 22}{3}\)
\(\dfrac{22\sqrt{7} + 22}{3}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} - 5}{3\sqrt{7} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{7} + 3\)
المقام :\((3\sqrt{7})^{2} - 3^{2} = 9\times 7 - 9 = 54\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} - 5)(3\sqrt{7} + 3)\)
\(= 15\sqrt{77} + 15\sqrt{11} - 15\sqrt{7} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{7} = \sqrt{77}\)
\(= \dfrac{15\sqrt{77} + 15\sqrt{11} - 15\sqrt{7} - 15}{54}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{77} + 5\sqrt{11} - 5\sqrt{7} - 5}{18}\)
\(\dfrac{5\sqrt{77} + 5\sqrt{11} - 5\sqrt{7} - 5}{18}\)
\(\sqrt{396}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(396 = 6^{2}\times 11\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{6^{2}\times 11} = 6\sqrt{11}\)
إذن :\(\sqrt{396} = 6\sqrt{11}\)
\(6\sqrt{11}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + 4}{4\sqrt{13} - 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 4\sqrt{13} + 4\)
المقام :\((4\sqrt{13})^{2} - 4^{2} = 16\times 13 - 16 = 192\)
ننشر البسط :\((\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{13} + 4)\)
\(= 4\sqrt{65} + 4\sqrt{5} + 16\sqrt{13} + 16\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{13} = \sqrt{65}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{65} + 4\sqrt{5} + 16\sqrt{13} + 16}{192}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{65} + \sqrt{5} + 4\sqrt{13} + 4}{48}\)
\(\dfrac{\sqrt{65} + \sqrt{5} + 4\sqrt{13} + 4}{48}\)
\(5\sqrt{48} - \dfrac{\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(5\sqrt{48} = 5\sqrt{4^{2}\times 3} = 5\times 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 3\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 3^{2} = 3 - 9 = -6\)
البسط :\((\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} - 3) = -8\sqrt{3} + 18\)
\(\dfrac{\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 3} = \dfrac{4\sqrt{3} - 9}{3}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(20\sqrt{3} - \left(\dfrac{4\sqrt{3} - 9}{3}\right) = \dfrac{56\sqrt{3} + 9}{3}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{56\sqrt{3} + 9}{3}\)
\(\dfrac{56\sqrt{3} + 9}{3}\)
\(\sqrt{20} - 3\sqrt{45}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{20} = \sqrt{2^{2}\times 5} = 2\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{45} = 3\times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{5} - 9\sqrt{5} = (2 - 9)\sqrt{5} = -7\sqrt{5}\)
\(-7\sqrt{5}\)
\(\dfrac{5\sqrt{11} + 2}{\sqrt{2} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{2} + 3\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 3^{2} = 1\times 2 - 9 = -7\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{11} + 2)(\sqrt{2} + 3)\)
\(= 5\sqrt{22} + 15\sqrt{11} + 2\sqrt{2} + 6\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{11}\times\sqrt{2} = \sqrt{22}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{22} + 15\sqrt{11} + 2\sqrt{2} + 6}{-7}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-5\sqrt{22} - 15\sqrt{11} - 2\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{-5\sqrt{22} - 15\sqrt{11} - 2\sqrt{2} - 6}{7}\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{13} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 1\)
\(\dfrac{6}{\sqrt{13} + 1} = \dfrac{6(\sqrt{13} - 1)}{(\sqrt{13} + 1)(\sqrt{13} - 1)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 1^{2} = 13 - 1 = 12\)
البسط :\(6(\sqrt{13} - 1) = 6\sqrt{13} - 6\)
\(= \dfrac{6\sqrt{13} - 6}{12}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{13} - 1}{2}\)
\(\sqrt{117}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نفكّك العدد الذي تحت الجذر :\(117 = 3^{2}\times 13\)
نستعمل الخاصية :\(\sqrt{3^{2}\times 13} = 3\sqrt{13}\)
إذن :\(\sqrt{117} = 3\sqrt{13}\)
\(3\sqrt{13}\)
\(\sqrt{48} - \sqrt{12}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2}\times 3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12} = \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (4 - 2)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3}\)