\((4\sqrt{3} + 3)(4\sqrt{3} - 3)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{3} \quad ; \quad y = 3\)
\(x^{2} = (4\sqrt{3})^{2} = 4^{2}\times 3 = 48\)
\(y^{2} = 3^{2} = 9\)
إذن :\((4\sqrt{3} + 3)(4\sqrt{3} - 3) = 48 - 9 = 39\)
\(39\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 1}{\sqrt{7} - 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{7} + 2\)
المقام :\((\sqrt{7})^{2} - 2^{2} = 1\times 7 - 4 = 3\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 2)\)
\(= 5\sqrt{21} + 10\sqrt{3} + \sqrt{7} + 2\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{7} = \sqrt{21}\)
\(= \dfrac{5\sqrt{21} + 10\sqrt{3} + \sqrt{7} + 2}{3}\)
الكسر في أبسط صورة :\(= \dfrac{5\sqrt{21} + 10\sqrt{3} + \sqrt{7} + 2}{3}\)
\(\dfrac{5\sqrt{21} + 10\sqrt{3} + \sqrt{7} + 2}{3}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} + 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{13} - 3\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{13} + 3} = \dfrac{8(\sqrt{13} - 3)}{(\sqrt{13} + 3)(\sqrt{13} - 3)}\)
المقام :\((\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 13 - 9 = 4\)
البسط :\(8(\sqrt{13} - 3) = 8\sqrt{13} - 24\)
\(= \dfrac{8\sqrt{13} - 24}{4}\)
نبسّط الكسر :\(= 2\sqrt{13} - 6\)
\(2\sqrt{13} - 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{3} + 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{3} + 6} = \dfrac{8(\sqrt{3} - 6)}{(\sqrt{3} + 6)(\sqrt{3} - 6)}\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 6^{2} = 3 - 36 = -33\)
البسط :\(8(\sqrt{3} - 6) = 8\sqrt{3} - 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{3} - 48}{-33}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{3} + 48}{33}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{3} + 48}{33}\)
\(3\sqrt{27} + \dfrac{\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{27} = 3\sqrt{3^{2}\times 3} = 3\times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{3} - 4\)
المقام :\((\sqrt{3})^{2} - 4^{2} = 3 - 16 = -13\)
البسط :\((\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} - 4) = -9\sqrt{3} + 23\)
\(\dfrac{\sqrt{3} - 5}{\sqrt{3} + 4} = \dfrac{9\sqrt{3} - 23}{13}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(9\sqrt{3} + \left(\dfrac{9\sqrt{3} - 23}{13}\right) = \dfrac{126\sqrt{3} - 23}{13}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{126\sqrt{3} - 23}{13}\)
\(\dfrac{126\sqrt{3} - 23}{13}\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} - 6}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = \sqrt{5} + 6\)
\(\dfrac{8}{\sqrt{5} - 6} = \dfrac{8(\sqrt{5} + 6)}{(\sqrt{5} - 6)(\sqrt{5} + 6)}\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 6^{2} = 5 - 36 = -31\)
البسط :\(8(\sqrt{5} + 6) = 8\sqrt{5} + 48\)
\(= \dfrac{8\sqrt{5} + 48}{-31}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-8\sqrt{5} - 48}{31}\)
\(\dfrac{-8\sqrt{5} - 48}{31}\)
\(\dfrac{5\sqrt{3} + 1}{3\sqrt{13} - 3}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 3\sqrt{13} + 3\)
المقام :\((3\sqrt{13})^{2} - 3^{2} = 9\times 13 - 9 = 108\)
ننشر البسط :\((5\sqrt{3} + 1)(3\sqrt{13} + 3)\)
\(= 15\sqrt{39} + 15\sqrt{3} + 3\sqrt{13} + 3\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{3}\times\sqrt{13} = \sqrt{39}\)
\(= \dfrac{15\sqrt{39} + 15\sqrt{3} + 3\sqrt{13} + 3}{108}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{5\sqrt{39} + 5\sqrt{3} + \sqrt{13} + 1}{36}\)
\(\dfrac{5\sqrt{39} + 5\sqrt{3} + \sqrt{13} + 1}{36}\)
\((4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{5} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (4\sqrt{5})^{2} = 4^{2}\times 5 = 80\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((4\sqrt{5} + 4)(4\sqrt{5} - 4) = 80 - 16 = 64\)
\(64\)
\(\sqrt{75} - 4\sqrt{27}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{75} = \sqrt{5^{2}\times 3} = 5\sqrt{3}\)
\(4\sqrt{27} = 4\times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(5\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = (5 - 12)\sqrt{3} = -7\sqrt{3}\)
\(-7\sqrt{3}\)
\(\sqrt{28} + 5\sqrt{112}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{28} = \sqrt{2^{2}\times 7} = 2\sqrt{7}\)
\(5\sqrt{112} = 5\times 4\sqrt{7} = 20\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{7} + 20\sqrt{7} = (2 + 20)\sqrt{7} = 22\sqrt{7}\)
\(22\sqrt{7}\)
\(3\sqrt{20} - \dfrac{\sqrt{5} - 6}{\sqrt{5} + 4}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(3\sqrt{20} = 3\sqrt{2^{2}\times 5} = 3\times 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{5} - 4\)
المقام :\((\sqrt{5})^{2} - 4^{2} = 5 - 16 = -11\)
البسط :\((\sqrt{5} - 6)(\sqrt{5} - 4) = -10\sqrt{5} + 29\)
\(\dfrac{\sqrt{5} - 6}{\sqrt{5} + 4} = \dfrac{10\sqrt{5} - 29}{11}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(6\sqrt{5} - \left(\dfrac{10\sqrt{5} - 29}{11}\right) = \dfrac{56\sqrt{5} + 29}{11}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{56\sqrt{5} + 29}{11}\)
\(\dfrac{56\sqrt{5} + 29}{11}\)
\((3\sqrt{11} + 4)(3\sqrt{11} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 3\sqrt{11} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (3\sqrt{11})^{2} = 3^{2}\times 11 = 99\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((3\sqrt{11} + 4)(3\sqrt{11} - 4) = 99 - 16 = 83\)
\(83\)
\(4\sqrt{99} - \dfrac{\sqrt{11} + 5}{\sqrt{11} + 1}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(4\sqrt{99} = 4\sqrt{3^{2}\times 11} = 4\times 3\sqrt{11} = 12\sqrt{11}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{11} - 1\)
المقام :\((\sqrt{11})^{2} - 1^{2} = 11 - 1 = 10\)
البسط :\((\sqrt{11} + 5)(\sqrt{11} - 1) = 4\sqrt{11} + 6\)
\(\dfrac{\sqrt{11} + 5}{\sqrt{11} + 1} = \dfrac{2\sqrt{11} + 3}{5}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(12\sqrt{11} - \left(\dfrac{2\sqrt{11} + 3}{5}\right) = \dfrac{58\sqrt{11} - 3}{5}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{58\sqrt{11} - 3}{5}\)
\(\dfrac{58\sqrt{11} - 3}{5}\)
\((\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = \sqrt{7} \quad ; \quad y = 4\)
\(x^{2} = (\sqrt{7})^{2} = 1^{2}\times 7 = 7\)
\(y^{2} = 4^{2} = 16\)
إذن :\((\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4) = 7 - 16 = -9\)
\(-9\)
\(\sqrt{52} - 5\sqrt{117}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{52} = \sqrt{2^{2}\times 13} = 2\sqrt{13}\)
\(5\sqrt{117} = 5\times 3\sqrt{13} = 15\sqrt{13}\)
نجمع الحدود المتشابهة :
\(2\sqrt{13} - 15\sqrt{13} = (2 - 15)\sqrt{13} = -13\sqrt{13}\)
\(-13\sqrt{13}\)
\((4\sqrt{3} + 5)(4\sqrt{3} - 5)\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نتعرّف على المتطابقة :\((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\)
هنا :\(x = 4\sqrt{3} \quad ; \quad y = 5\)
\(x^{2} = (4\sqrt{3})^{2} = 4^{2}\times 3 = 48\)
\(y^{2} = 5^{2} = 25\)
إذن :\((4\sqrt{3} + 5)(4\sqrt{3} - 5) = 48 - 25 = 23\)
\(23\)
\(\dfrac{2\sqrt{5} - 3}{2\sqrt{3} - 5}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام :\(\text{conj} = 2\sqrt{3} + 5\)
المقام :\((2\sqrt{3})^{2} - 5^{2} = 4\times 3 - 25 = -13\)
ننشر البسط :\((2\sqrt{5} - 3)(2\sqrt{3} + 5)\)
\(= 4\sqrt{15} + 10\sqrt{5} - 6\sqrt{3} - 15\)
نلاحظ أن :\(\sqrt{5}\times\sqrt{3} = \sqrt{15}\)
\(= \dfrac{4\sqrt{15} + 10\sqrt{5} - 6\sqrt{3} - 15}{-13}\)
نبسّط الكسر :\(= \dfrac{-4\sqrt{15} - 10\sqrt{5} + 6\sqrt{3} + 15}{13}\)
\(\dfrac{-4\sqrt{15} - 10\sqrt{5} + 6\sqrt{3} + 15}{13}\)
\(\sqrt{343} - \sqrt{50} - 3\sqrt{343} - \sqrt{112}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{343} = 7\sqrt{7}\)
\(\sqrt{50} = \times 5\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{343} = 21\sqrt{7}\)
\(\sqrt{112} = 4\sqrt{7}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{7}\) :
\((7 - 21 - 4)\sqrt{7} = -18\sqrt{7}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(-5\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{343} - \sqrt{50} - 3\sqrt{343} - \sqrt{112} = -18\sqrt{7} - 5\sqrt{2}\)
\(-18\sqrt{7} - 5\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{50} - \dfrac{5\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
الخطوة 1 — نبسّط الجذر الأول :\(2\sqrt{50} = 2\sqrt{5^{2}\times 2} = 2\times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
الخطوة 2 — نزع قاطع الكسر :\(\text{conj} = \sqrt{2} - 2\)
المقام :\((\sqrt{2})^{2} - 2^{2} = 2 - 4 = -2\)
البسط :\((5\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 2) = -11\sqrt{2} + 12\)
\(\dfrac{5\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2} = \dfrac{11\sqrt{2} - 12}{2}\)
الخطوة 3 — نردّ على نفس المقام :\(10\sqrt{2} - \left(\dfrac{11\sqrt{2} - 12}{2}\right) = \dfrac{9\sqrt{2} + 12}{2}\)
النتيجة النهائية :\(= \dfrac{9\sqrt{2} + 12}{2}\)
\(\dfrac{9\sqrt{2} + 12}{2}\)
\(\sqrt{80} + 2\sqrt{32} + 3\sqrt{180} - \sqrt{180}\)
: الجواب
✅ التصحيح المفصّل
نبسّط كل جذر على حدة :
\(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{32} = 2\times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{180} = 18\sqrt{5}\)
\(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\)
نجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{5}\) :
\((4 + 18 - 6)\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
الحد المستقل يبقى كما هو :\(8\sqrt{2}\)
إذن :\(\sqrt{80} + 2\sqrt{32} + 3\sqrt{180} - \sqrt{180} = 16\sqrt{5} + 8\sqrt{2}\)
\(16\sqrt{5} + 8\sqrt{2}\)