في المعين $(O,I,J)$ لدينا:
| $(OI) \perp (AB)$ | $(AB)//(OI)$ | $(AB)//(OI)$ | الجملة |
|---|---|---|---|
| $B\left(\sqrt{2}-2;\frac{3}{2}\right)$ و $A\left(2-\sqrt{2};\frac{3}{2}\right)$ إذن |
| $64\sqrt{2}$ | $32$ | $8$ | الجملة |
|---|---|---|---|
| مربع محيطه $8\sqrt{2}cm$ إذن مساحته بـ $cm^2$ هي |
| $\sqrt{2}$ | $0$ | $2$ | الجملة |
|---|---|---|---|
| العبارة $\frac{\sqrt{2}+2}{2} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$ تساوي |
| $\sqrt{5}-3$ | $\frac{3+\sqrt{5}}{4}$ | $4(3+\sqrt{5})$ | الجملة |
|---|---|---|---|
| مقلوب العدد $3-\sqrt{5}$ هو |
المعطيات:
$A\left(2-\sqrt{2};\frac{3}{2}\right)$ و $B\left(\sqrt{2}-2;\frac{3}{2}\right)$
الملاحظة:
كلا النقطتين لهما نفس إحداثية $y$: $y_A = y_B = \frac{3}{2}$
الاستنتاج:
المستقيم $(AB)$ أفقي (موازي للمحور $x$)
$(OI)$ هو المحور $x$ (أفقي)
المعطيات: المحيط $= 8\sqrt{2} \, cm$
الحل:
محيط المربع $= 4a$ حيث $a$ هو طول الضلع
$$4a = 8\sqrt{2}$$ $$a = 2\sqrt{2} \, cm$$حساب المساحة:
$$\text{المساحة} = a^2 = (2\sqrt{2})^2$$ $$= 4 \times 2 = 8 \, cm^2$$تبسيط الكسر الثاني:
$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$= 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$الحساب الكامل:
$$\frac{\sqrt{2}+2}{2} - \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ترشيد المقام:
$$\frac{1}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$$ $$= \frac{3+\sqrt{5}}{9-5}$$ $$= \frac{3+\sqrt{5}}{4}$$اعرض الجزئين a و b بالأرقام المناسبة ليكون العدد $a^{15} \times b^{12}$ قابلاً للقسمة على 12 و أن يكون قابلاً تماماً. واذكر جميع الحلول.
ملاحظة: يتكون العدد فقط بأرقام للقسمة على 12 و $a \neq 12$ و $b \neq 12$
2) ليكن العددان $5x = 5^{13} \cdot 51^{12} \cdot 51^{13}$ و $y = 5^{13} + 3^{12}$
حدث $x$ بدلالة $y$ إذا علمت أن $x$ تقبل القسمة على 5 و $y$ لا يقبل القسمة على 3
3) أ) $x$ عدد زوجي يكتب على 3 نسخة على 3 سطر تعد 1
ب) جد مضاعفاً جوانب باقي قسمة على 6
ب) بين أن العدد 222222222221 $y$ لا يقبل القسمة على 6. ثم إعط مضاعفاً جوانب القيم الممكنة لباقي قسمة $y$ على 6
هذا تمرين في القابلية للقسمة والأرقام
يتطلب تحليلاً رياضياً معمقاً
I) لتكن العبارتين التاليتين:
$$a = \sqrt{75} - 3\sqrt{12} + \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$$ $$b = \frac{|\sqrt{3}-3| + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$1) بين أن $a = 2 - \sqrt{3}$ و $b = 2 + \sqrt{3}$
2) بين أن $a$ و $b$ مقلوبان.
3) احسب: $c = \frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{\sqrt{3}}{b}$ و $d = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
II) لتكن العبارة التالية حيث $x$ عدد حقيقي:
$$E = \frac{1}{2-\sqrt{3}}\left(x^2-1\right) - 3\left(2+\sqrt{3}\right)$$1) احسب $E$ إذا علمت أن $x = \sqrt{2}$
2) بين أن $E = \left(2+\sqrt{3}\right)\left(x^2-4\right)$
3) أوجد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن: $E = 0$
حساب $a$:
تبسيط الجذور:
$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$ $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$$ $$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$$التعويض:
$$a = 5\sqrt{3} - 3(2\sqrt{3}) + 2$$ $$= 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2$$ $$= -\sqrt{3} + 2$$حساب $b$:
تبسيط القيمة المطلقة:
بما أن $\sqrt{3} \approx 1.73 < 3$:
$$|\sqrt{3}-3| = 3-\sqrt{3}$$ $$b = \frac{3-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$= \frac{3 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$= \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$= \sqrt{3} + 2$$نحسب: $a \times b$
$$a \times b = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$$باستخدام المرافق:
$$= 2^2 - (\sqrt{3})^2$$ $$= 4 - 3$$ $$= 1$$حساب $c$:
$$c = \frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{\sqrt{3}}{b}$$ $$= \sqrt{3}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$بما أن $a$ و $b$ مقلوبان:
$$\frac{1}{a} = b = 2+\sqrt{3}$$ $$\frac{1}{b} = a = 2-\sqrt{3}$$ $$c = \sqrt{3}[(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})]$$ $$= \sqrt{3}[2\sqrt{3}]$$حساب $d$:
$$d = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$$بما أن $ab = 1$:
$$\frac{b}{a} = b^2$$ $$b^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$نعلم أن $\frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$
عند $x = \sqrt{2}$:
$$x^2 = 2$$ $$E = (2+\sqrt{3})(2-1) - 3(2+\sqrt{3})$$ $$= (2+\sqrt{3}) - 3(2+\sqrt{3})$$ $$= -2(2+\sqrt{3})$$إخراج العامل المشترك:
$$E = (2+\sqrt{3})[(x^2-1) - 3]$$ $$= (2+\sqrt{3})(x^2-4)$$بما أن $2+\sqrt{3} \neq 0$:
$$x^2 - 4 = 0$$ $$x^2 = 4$$يلي كل سؤال ثلاث مقترحات، أحدها فقط صحيح ضع إشارة علامة ×:
1) يساوي $\frac{2}{2+\sqrt{3}}$
| $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $4-\sqrt{12}$ | $1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ | السؤال |
2) يساوي $\frac{(\sqrt{6}+2)^2}{2}$
| $\sqrt{6}+2$ | $5$ | $5+2\sqrt{6}$ | السؤال |
3) يساوي $\frac{10-4\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$
| $-\frac{6}{7}$ | $\frac{5\sqrt{2}-4}{7}$ | $\frac{-5\sqrt{2}+4}{7}$ | السؤال |
4) $ABCD$ مربع مركزه $O$ و قيس ضلعه $\sqrt{18}$ و $M$ منتصف $[AB]$ إذن البعد $OM$ يساوي
| $\frac{3}{\sqrt{2}}$ | $\frac{3}{2}$ | $3$ | السؤال |
مقارنة مع الخيارات:
$$4-\sqrt{12} = 4-2\sqrt{3}$$ ✓المعطيات:
الحل:
في نظام إحداثيات مركزه $O$:
إذا كان $A$ في $\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$
و $B$ في $\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$
فإن $M$ منتصف $[AB]$ في: $\left(0, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$
$$OM = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$I) نعتبر العبارتين التاليتين $a$ و $b$ حيث
$$a = \frac{-1}{3}\left(2\sqrt{45} - 8\sqrt{9}\right) - \left(\sqrt{20}-1\right)$$ $$b = \frac{3}{\sqrt{5}-2} + \sqrt{20} + \left|\sqrt{5}-\sqrt{9}\right|$$1) بين أن $b = 9 + 4\sqrt{5}$ و $a = 9 - 4\sqrt{5}$
2) أ) بين أن $a$ و $b$ لهما نفس العلامة
ب) استنتج أن العددين $\left|b\left(\frac{1}{b^2}-2a\right)\right| = \frac{1}{a}-16$
3) احسب $\frac{2}{a\sqrt{5}} - \frac{2}{b\sqrt{5}}$
4) ليكن $ABCD$ مستطيل أبعاده $\frac{1+a}{a}$ و $1+\frac{1}{b}$ احسب مساحته
II) لتكن العبارة: حيث $x \in \mathbb{R}$
$$E = b\left(\frac{1}{b^2}-2a\right)\left(2x-\sqrt{3}\right) - \left(\frac{1}{a}-16\right)\left(3x-2\sqrt{3}\right)$$1) بين أن $E = \left(4\sqrt{5}-8\right)\left(3\sqrt{3}-5x\right)$
2) أوجد $x$ إذا علمت أن $E = x - \sqrt{3}$
3) أوجد $x$ إذا علمت أن $\sqrt{3+2x^2} = 2\sqrt{3}$
هذا التمرين مطابق للتمرين 2 من الصفحة 223-224
راجع التصحيح المفصل أعلاه
ليكن $(O,I,J)$ معيناً متعامداً في المستوى حيث $OI = OJ = 1cm$
1) أ) عين النقاط: $A(2;3)$ ؛ $B(2;-3)$ ؛ $M(3;0)$
ب) بين أن $B = E(OA)$
2) نعتبر النقطة $(O,I,J)$ مسقط متوازي من الإحداثيات $(O,I,J)$ من النقطة $A(2;3)$ عين النقاط
حدد إحداثيات النقطة $C$ على جوابك
يتطلب رسم بياني وتحديد نقاط
لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حددها:
1) مربع مساحته $3cm^2$ فإن محيطه يساوي
| $12$ | $\sqrt{48}$ | $\sqrt{12}$ | الجملة |
2) إذا كان $(O,I,J)$ معيناً من المستوى حيث
$A(\sqrt{2}-3;1)$ و $B(1-\sqrt{2};3)$
فإن إحداثيات $C$ منتصف $[AB]$ هي
| $C(-1,2)$ | $C(-1,\sqrt{2})$ | $C(1,2)$ | الجملة |
3) مقلوب العدد $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ هو
| $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$ | $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ | $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ | الجملة |
4) $x$ عدد حقيقي حيث $|-x\sqrt{3}| = -x\sqrt{3}$ إذن
| $x \in \mathbb{IR}_-$ | $x \in \mathbb{IR}_+$ | الجملة |
المساحة $= a^2 = 3$
الضلع: $a = \sqrt{3}$
المحيط: $4a = 4\sqrt{3}$
نتحقق: $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$ ✓
$|-x\sqrt{3}| = -x\sqrt{3}$
القيمة المطلقة تساوي العدد نفسه عندما يكون موجباً:
$$-x\sqrt{3} \geq 0$$ $$-x \geq 0$$ $$x \leq 0$$نعتبر العبارة $M$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان
$$M = -(1-\sqrt{3}) - \left[x-(y+\pi)+\sqrt{5}\right] + (1-\pi)$$1) أ) أثبت أن $M = y - x$
ب) احسب $M$ إذا علمت أن $x = y - \sqrt{2}$
2) جد $x$ إذا علمت أن $M$ و $y - \pi$ متقابلان
3) نعتبر العبارتين $A$ و $B$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان
$$A = \sqrt{2} - \left[-\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{2}\right)+x\right] - (y+1)$$ $$B = \sqrt{\frac{25}{4}} - \left(\sqrt{3}-\pi\right) - \left(-y+\frac{3}{2}\right)$$أ) أثبت أن $A = -x-y+\sqrt{3}$ و $B = y+1-\sqrt{3}+\pi$
ب) احسب $A$ إذا علمت أن $x+y = \sqrt{3}-1$
ج) أوجد $x$ إذا علمت أن $A$ و $B$ متقابلان
تمرين يتطلب فتح الأقواس وتجميع الحدود
نعتبر العبارتين التاليتين:
$$a = 2\left|\sqrt{2}-2\right| - 1$$ $$b = 2\left(\sqrt{2}+1\right) - \left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)$$1) بين أن $a = 3 - 2\sqrt{2}$ و $b = 3 + 2\sqrt{2}$
2) بين أن $a$ و $b$ مقلوبان.
3) بين أن $\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}-2\sqrt{2}\right)$ هو عدد صحيح طبيعي
4) نعتبر العبارتين التاليتين حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان
$$A = \frac{3}{2}\left(x-\sqrt{2}\right) - \frac{1}{2}\left(x-7\sqrt{2}\right)$$ $$B = \left(3x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right) - 2 + 3\sqrt{2}x$$أ) أنشر واختصر العبارة $A$
ب) فكك العبارة $B$ إلى جذاء عوامل
ج) بين أن $A + B = \left(x+2\sqrt{2}\right)\left(3x-\sqrt{2}+1\right)$
د) جد العدد الحقيقي $x$ حيث $y$ و $u$ متقابلان
يجمع بين التبسيط والتفكيك والمعادلات
نعتبر الرسم التخطيطي حيث $AB = 6$ و $AC = 8$ و $BC = 10$
و $CH = 6.4$ و $CF = 24$ و $EF = EC = 15$
و المستقيم $(EF)$ موازي لـ $(IH)$
الأسئلة على الرسم...
يتطلب استخدام نظرية طاليس والمثلثات