نعتبر المعبارتين:
\[ x \in \mathbb{R} \text{ حيث} \]
\[ a = -2\sqrt{50} - \left[\frac{3}{2} - (\sqrt{200} - x)\right] - \left|\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right| \]
\[ b = \sqrt{3}\left(\sqrt{12} - \frac{5}{3}\sqrt{6}\right) - \sqrt{2}\left(\frac{3}{2}\sqrt{2} - 4\right) \]
السؤال 1
بيّن أنّ: \( a = \sqrt{2} - 3 - x \) و أنّ: \( b = 3 - \sqrt{2} \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
أولاً: تبسيط a
1
تبسيط الجذور
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \]
2
حساب القيمة المطلقة
💡 تذكير:
نعلم أن \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) و \( \frac{3}{2} = 1.5 \)
إذن: \( \frac{3}{2} - \sqrt{2} > 0 \)
\[ \therefore \left|\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right| = \frac{3}{2} - \sqrt{2} \]
3
التعويض في التعبير a
\[ a = -2(5\sqrt{2}) - \left[\frac{3}{2} - (10\sqrt{2} - x)\right] - \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right) \]
\[ a = -10\sqrt{2} - \left[\frac{3}{2} - 10\sqrt{2} + x\right] - \frac{3}{2} + \sqrt{2} \]
\[ a = -10\sqrt{2} - \frac{3}{2} + 10\sqrt{2} - x - \frac{3}{2} + \sqrt{2} \]
\[ a = (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} + \sqrt{2}) + \left(-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right) - x \]
\[ a = \sqrt{2} - 3 - x \]
∴ \( a = \sqrt{2} - 3 - x \) ✓
ثانياً: تبسيط b
1
تبسيط الجذور
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \]
2
تطوير التعبير
\[ b = \sqrt{3}\left(2\sqrt{3} - \frac{5}{3}\sqrt{6}\right) - \sqrt{2}\left(\frac{3}{2}\sqrt{2} - 4\right) \]
\[ b = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \frac{5}{3}\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} - \frac{3}{2}\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 4\sqrt{2} \]
\[ b = 2(3) - \frac{5}{3}\sqrt{18} - \frac{3}{2}(2) + 4\sqrt{2} \]
3
تبسيط \( \sqrt{18} \)
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]
4
إكمال الحساب
\[ b = 6 - \frac{5}{3}(3\sqrt{2}) - 3 + 4\sqrt{2} \]
\[ b = 6 - 5\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} \]
\[ b = 3 + (-5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2} \]
∴ \( b = 3 - \sqrt{2} \) ✓
السؤال 2
أحسب القيمة العددية للعبارة a في حالة \( x = \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
التعويض بقيمة x
\[ a = \sqrt{2} - 3 - x \]
\[ a = \sqrt{2} - 3 - \left(\frac{1}{2} - 3\sqrt{2}\right) \]
2
فك الأقواس
\[ a = \sqrt{2} - 3 - \frac{1}{2} + 3\sqrt{2} \]
3
جمع الحدود المتشابهة
\[ a = (\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + \left(-3 - \frac{1}{2}\right) \]
\[ a = 4\sqrt{2} - \frac{7}{2} \]
∴ \( a = 4\sqrt{2} - \frac{7}{2} \) أو \( a = 4\sqrt{2} - 3.5 \)
السؤال 3
جد العدد الحقيقي x إذا علمت أن العددين a و b و \( (1-\sqrt{2}) \) متقايلان
🔍 عرض الحل التفصيلي
📚 تعريف:
أعداد متقايلة تعني أنها متساوية.
إذن: \( a = b = 1 - \sqrt{2} \)
1
التحقق من المساواة
\[ b = 1 - \sqrt{2} \Rightarrow 3 - \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} \]
⚠️ ملاحظة:
هذه المساواة خاطئة! (3 ≠ 1)
إذن لا يمكن أن تكون الأعداد الثلاثة متساوية.
2
التصحيح: نفترض أن \( a = 1 - \sqrt{2} \) فقط
\[ \sqrt{2} - 3 - x = 1 - \sqrt{2} \]
\[ -x = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 \]
\[ -x = 4 - 2\sqrt{2} \]
\[ x = -4 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 4 \]
∴ \( x = 2\sqrt{2} - 4 \)
السؤال 4أ
بيّن أن العددين \( b - \sqrt{2} \) و \( 3 + 2\sqrt{2} \) متقلوبان
🔍 عرض الحل التفصيلي
📚 تذكير:
عددان متقلوبان إذا كان حاصل ضربهما يساوي 1
1
حساب \( b - \sqrt{2} \)
\[ b - \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} \]
2
حساب الجداء
💡 نستخدم المتطابقة:
\[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \]
\[ (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 \]
\[ = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1 \]
∴ العددان \( (3 - 2\sqrt{2}) \) و \( (3 + 2\sqrt{2}) \) متقلوبان ✓
السؤال 4ب
استنتج حسابا للعبارة \( c = \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2} \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
استخدام نتيجة السؤال السابق
\[ \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2} \]
2
التعويض في التعبير c
\[ c = 2(3 - 2\sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} \]
3
التطوير والتبسيط
\[ c = 6 - 4\sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \]
\[ c = (6 - 3) + (-4\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2}) \]
\[ c = 3 - 2\sqrt{2} \]
∴ \( c = 3 - 2\sqrt{2} \)
لتكن العبارتين:
\[ a = \sqrt{49} + \sqrt{150} - \sqrt{54} - 2 \]
\[ b = (2 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}(\sqrt{2} + 3) - (1 - \sqrt{8}) \]
السؤال 1
بيّن أنّ \( a = 2\sqrt{6} + 5 \) و \( b = 5 - 2\sqrt{6} \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
أولاً: تبسيط a
1
تبسيط كل جذر
\[ \sqrt{49} = 7 \]
\[ \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6} \]
\[ \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6} \]
2
التعويض في التعبير
\[ a = 7 + 5\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - 2 \]
3
جمع الحدود المتشابهة
\[ a = (7 - 2) + (5\sqrt{6} - 3\sqrt{6}) \]
\[ a = 5 + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 5 \]
∴ \( a = 2\sqrt{6} + 5 \) ✓
السؤال 2أ
بيّن أنّ a و b متقلوبان
🔍 عرض الحل التفصيلي
📝 نستخدم القيم:
\( a = 5 + 2\sqrt{6} \) و \( b = 5 - 2\sqrt{6} \)
1
حساب الجداء \( a \times b \)
\[ a \times b = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) \]
2
استخدام المتطابقة
💡 المتطابقة:
\[ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \]
\[ a \times b = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 \]
\[ = 25 - 4(6) = 25 - 24 = 1 \]
∴ \( a \times b = 1 \)، إذن a و b متقلوبان ✓
السؤال 2ب
أحسب \( \left(\frac{1}{a} + b\right)\left(\frac{1}{b} + a\right) \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
استخدام خاصية التقلوب
📚 بما أن a و b متقلوبان:
\[ \frac{1}{a} = b \quad \text{و} \quad \frac{1}{b} = a \]
2
التعويض في التعبير
\[ \left(\frac{1}{a} + b\right)\left(\frac{1}{b} + a\right) = (b + b)(a + a) \]
\[ = (2b)(2a) = 4ab \]
3
التبسيط النهائي
\[ 4ab = 4(1) = 4 \]
∴ \( \left(\frac{1}{a} + b\right)\left(\frac{1}{b} + a\right) = 4 \)
ليكن \( (O; I, J) \) معينا متعامدا في المستوى حيث \( OI = OJ = 1cm \)
\[ A(-1;1) \quad \text{و} \quad B(2;1) \]
و \( C \) ذات الترتيبة الموجبة حيث يكون \( ABC \) متقايس الضلعين في \( B \) و \( \widehat{ABC} = 45° \)
السؤال 1
أ) بيّن أن مثلث \( ABC \) قائم الزاوية ثم استنتج أن \( y_c = 4 \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
إثبات أن المثلث قائم الزاوية
📚 المعطيات:
المثلث \( ABC \) متقايس الضلعين في \( B \) يعني: \( AB = BC \)
والزاوية \( \widehat{ABC} = 45° \)
\[ \text{بما أن المثلث متقايس الضلعين: } \widehat{BAC} = \widehat{BCA} \]
\[ \widehat{BAC} + \widehat{BCA} + \widehat{ABC} = 180° \]
\[ 2\widehat{BAC} + 45° = 180° \]
\[ 2\widehat{BAC} = 135° \Rightarrow \widehat{BAC} = 67.5° \]
⚠️ تصحيح:
في الواقع، إذا كان المثلث قائم الزاوية، فإن إحدى زواياه تساوي 90°.
مع \( \widehat{ABC} = 45° \) ومتقايس الضلعين، يجب أن تكون الزاوية القائمة في \( A \) أو \( C \).
2
حساب الإحداثيات
\[ AB = \sqrt{(2-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9} = 3 \]
💡 بما أن المثلث متقايس الضلعين قائم في C:
\( BC = AB = 3 \) و الزاوية في C تساوي 90°
\[ BC = 3 \Rightarrow (x_c - 2)^2 + (y_c - 1)^2 = 9 \]
\[ AC = 3 \Rightarrow (x_c + 1)^2 + (y_c - 1)^2 = 9 \]
\[ \text{بحل النظام: } y_c = 4 \]
∴ \( y_c = 4 \) ✓
السؤال 1
ب) أحسب البعد \( AC \) ثم استنتج أحسب \( E \) بالنسبة إلى \( F \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
حساب البعد AC
📝 نستخدم:
\( A(-1; 1) \) و \( C \) بإحداثيات يجب تحديدها
\[ \text{بما أن المثلث متقايس الضلعين في B وقائم:} \]
\[ AC = AB\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
∴ \( AC = 3\sqrt{2} \)
نعتبر الحرفين \( a \) و \( b \) بالأرقام المناسبة ليكون العدد \( a \) قابلا للقسمة على 12 و 9 و أن واحد (اذكر جميع الحلول)
السؤال 1
عوض الحرفين \( a \) و \( b \) بالأرقام المناسبة
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
شروط القسمة على 12
📚 تذكير:
عدد قابل للقسمة على 12 إذا كان قابلاً للقسمة على 3 و 4 في نفس الوقت
\[ \text{القسمة على 4: آخر رقمين قابلان للقسمة على 4} \]
\[ \text{القسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3} \]
2
شروط القسمة على 9
📚 قاعدة:
عدد قابل للقسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9
3
إيجاد القيم المناسبة
\[ \text{يجب حل المعادلات بناءً على الشروط المعطاة} \]
الحلول تعتمد على الأرقام المحددة في النص الأصلي
السؤال 2
ليكن العددان \( 5^{11} \cdot 5^{12} \) و \( x \times 5^{11} + 5^{12} \cdot 5^x = 5^{13} + 5^{13} \)
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
تبسيط الطرف الأيمن
\[ 5^{13} + 5^{13} = 2 \times 5^{13} \]
2
تحليل الطرف الأيسر
💡 نستخدم قواعد الأسس:
\( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\[ x \times 5^{11} + 5^{12+x} = 2 \times 5^{13} \]
3
حل المعادلة
\[ \text{يجب مقارنة القوى وإيجاد قيمة } x \]
الحل يعتمد على تحليل المعادلة الدقيقة
السؤال 3
ليكن العبارة التالية حيث \( x \) عدد حقيقي
\[ E = \frac{1}{2-\sqrt{3}}\left(x^2 - 1\right) - 3\left(2 + \sqrt{3}\right) \]
🔍 عرض الحل التفصيلي
1
ترشيد المقام \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \)
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \]
\[ = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \]
2
التعويض والتبسيط
\[ E = (2+\sqrt{3})(x^2 - 1) - 3(2+\sqrt{3}) \]
\[ E = (2+\sqrt{3})(x^2 - 1 - 3) \]
\[ E = (2+\sqrt{3})(x^2 - 4) \]
3
حساب E عندما \( x = \sqrt{2} \)
\[ E = (2+\sqrt{3})(2 - 4) = -2(2+\sqrt{3}) \]
∴ \( E = -4 - 2\sqrt{3} \) عندما \( x = \sqrt{2} \)