دليل شامل للتمارين المتنوعة في الجذور

📚 تبسيط التعابير مع الجذور

القوانين الأساسية:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ (عندما $a \geq 0$)
$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$ (ترشيد)

📐 البراهين والاثباتات

لإثبات مساواة:

ابدأ من الطرف الأعقد
بسّط خطوة بخطوة
استخدم الهويات المعروفة
وصل إلى الطرف الآخر

أو بدلاً من ذلك: احسب كلا الطرفين وأثبت تساويهما

🔍 التعابير المعقدة

للتعامل مع التعابير المعقدة:

فكك العوامل المشتركة
استخدم ترشيد المقامات
بسّط الجذور المربعة
اجمع الحدود المتشابهة

مثال: $\sqrt{\frac{20}{45}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5}} = \frac{2}{3}$

⚠️ نصائح مهمة

• تأكد من تبسيط الجذور قبل العمليات

• انتبه للمقامات التي تحتوي جذور

• راجع إشارات الأعداد

• تذكر أن $\sqrt{a^2} = |a|$

• استخدم الآلة الحاسبة للتحقق من النتائج

تمارين متنوعة في الجذور والتبسيط

الحسابات الأساسية البراهين التعابير المعقدة

(1) احسب العبارات

$$a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{4\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

ضرب الكسور: اضرب البسط في البسط والمقام في المقام

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times 1}{\sqrt{3} \times 4\sqrt{3}}$

تذكر أن $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$

📝 طريقة الحل

الخطوة 1: اضرب الكسور

$a = \frac{\sqrt{2} \times 1}{\sqrt{3} \times 4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4 \times 3} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

الخطوة 2: رشّد المقام

$\frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ (المقام عدد صحيح)

✅ الحل النهائي

$$a = \frac{\sqrt{2}}{12}$$

$$b = \frac{\sqrt{20} + \sqrt{45}}{2\sqrt{5}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

بسّط الجذور في البسط أولاً:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

ثم اجمع الحدود المتشابهة

📝 طريقة الحل

الخطوة 1: بسّط الجذور

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

الخطوة 2: قسّم

$b = \frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2}$

✅ الحل النهائي

$$b = \frac{5}{2}$$

$$c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

فصل الكسر إلى جزأين:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

تذكر أن $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

📝 طريقة الحل

الخطوة 1: فصل الكسر

$c = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

الخطوة 2: بسّط كل جزء

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

✅ الحل النهائي

$$c = \sqrt{3} - 1$$

$$d = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

بسّط كل كسر على حدة:

• الأول: $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{\frac{2}{3}}$

• الثاني: $\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

ثم رشّد إذا لزم الأمر

📝 طريقة الحل

الكسر الأول:

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$

الكسر الثاني:

$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

✅ الحل النهائي

$$d = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{4\sqrt{6} + \sqrt{6}}{4} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$$

(2) بين أن $\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = (3+2\sqrt{2})^2$

إثبات

$$\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = (3+2\sqrt{2})^2$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

لإثبات هذه المساواة، يمكنك:

• طريقة 1: احسب الطرف الأيسر وبسطه

• طريقة 2: احسب الطرف الأيمن وبسطه

• أو احسب كلا الطرفين وأثبت تساويهما

ملاحظة: قد يكون هناك خطأ في الصياغة

📝 طريقة الحل

احسب الطرف الأيسر:

$\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} + 1$

رشّد: $\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

إذن الطرف الأيسر = $\frac{3\sqrt{2}}{4} + 1$

احسب الطرف الأيمن:

$(3+2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$

✅ الحل النهائي

النتيجة:

الطرف الأيسر: $\frac{3\sqrt{2}}{4} + 1 = \frac{3\sqrt{2} + 4}{4}$

الطرف الأيمن: $17 + 12\sqrt{2}$

المساواة غير صحيحة رياضياً
قد يكون هناك خطأ في نقل المسألة

(3) احسب

$$p = 2\left[\sqrt{3} - 5\right] - \sqrt{3}\left[-\frac{3}{2} - \sqrt{3} + \frac{7}{2}\right] - 2\sqrt{3}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

وزّع كل قوس على حدة:

• $2[\sqrt{3} - 5] = 2\sqrt{3} - 10$

• بسّط ما داخل القوس الثاني أولاً: $-\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 2$

• ثم اضرب في $\sqrt{3}$

📝 طريقة الحل

الخطوة 1: وزّع العدد 2

$2[\sqrt{3} - 5] = 2\sqrt{3} - 10$

الخطوة 2: بسّط القوس الثاني

$-\frac{3}{2} - \sqrt{3} + \frac{7}{2} = 2 - \sqrt{3}$

الخطوة 3: اضرب في $\sqrt{3}$

$\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3$

✅ الحل النهائي

$$p = (2\sqrt{3} - 10) - (2\sqrt{3} - 3) - 2\sqrt{3}$$ $$= 2\sqrt{3} - 10 - 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3}$$ $$= -2\sqrt{3} - 7$$

$$n = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} - \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

رشّد كل كسر على حدة:

• للأول: اضرب في $\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

• للثاني: اضرب في $\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$

تذكر: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 9-5 = 4$

📝 طريقة الحل

الكسر الأول:

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9+6\sqrt{5}+5}{4} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4}$

الكسر الثاني:

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9-6\sqrt{5}+5}{4} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4}$

✅ الحل النهائي

$$n = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} - \frac{14-6\sqrt{5}}{4}$$ $$= \frac{14+6\sqrt{5}-14+6\sqrt{5}}{4}$$ $$= \frac{12\sqrt{5}}{4} = 3\sqrt{5}$$

(4) احسب التعابير المعقدة

$$x = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}+10}{5}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

رشّد الكسر الأول:

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

ثم أوجد المقام المشترك للجمع

📝 طريقة الحل

رشّد الكسر الأول:

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

اجمع الكسور:

$x = \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{3\sqrt{5}+10}{5}$

✅ الحل النهائي

$$x = \frac{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 10}{5} = \frac{5\sqrt{5} + 10}{5} = \sqrt{5} + 2$$