التمرين رقم 10

أكتب على شكل $a\sqrt{b}$
تمرين

تبسيط العبارات الجذرية

  • $A = 2\sqrt{72} - \sqrt{200}$
  • $B = \sqrt{27} + 7\sqrt{75} - \sqrt{300}$
  • $C = \sqrt{27} + 2\sqrt{75} - 4\sqrt{3}$
  • $D = \sqrt{12} - 3\sqrt{75} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{27}$
  • $E = \sqrt{5} \times \sqrt{15}$
  • $F = \sqrt{500} - 7\sqrt{45} - \sqrt{80}$
  • $G = \sqrt{45} - \sqrt{5}$
  • $I = \sqrt{12} - \sqrt{75} - 2\sqrt{27}$
  • $K = \sqrt{3} + 3\sqrt{27}$
  • $J = 6\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{192}$
  • $L = 4\sqrt{2} \times \sqrt{90}$
  • $M = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{125} - 7\sqrt{45}$
  • $H = (6+2\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{3})^2$
  • $N = 6\sqrt{28} + 10\sqrt{7} - 8\sqrt{63}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • القاعدة الأساسية: لتبسيط جذر $\sqrt{x}$, ابحث عن أكبر مربع كامل يقسم $x$. ثم اكتب $x$ على شكل $k^2 \times b$ واستخدم القاعدة $\sqrt{k^2 \times b} = k\sqrt{b}$.
  • المربعات الكاملة: تذكر المربعات الكاملة المشهورة: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
  • تجميع الحدود: لا يمكنك جمع أو طرح الجذور إلا إذا كانت متشابهة (لها نفس العدد تحت الجذر). مثال: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$, لكن لا يمكن تبسيط $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.
  • الجداءات المعتبرة: للعبارة H, يمكنك استخدام قاعدة الفرق بين مربعين $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ أو نشر كل مربع على حدة ثم الطرح.

📝 طريقة الحل

لكل عبارة تحتوي على جمع أو طرح جذور، اتبع الخطوات التالية:

  1. حدد الجذر المشترك: انظر إلى أصغر عدد تحت الجذر. في الغالب، هذا هو الجذر المشترك الذي ستبقى به في النهاية (على سبيل المثال، في العبارة B، أصغر عدد هو 27. جذره المبسط $\sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$. إذن الجذر المشترك هو $\sqrt{3}$).
  2. فكك كل الجذور: اكتب كل عدد تحت جذر على شكل جداء عددين، أحدهما مربع كامل.
    مثال: لتبسيط F، فكك كل الجذور ليكون بداخلها العدد 5: $\sqrt{500}=\sqrt{100 \times 5}$, $\sqrt{45}=\sqrt{9 \times 5}$, $\sqrt{80}=\sqrt{16 \times 5}$.
  3. بسّط كل حد: أخرج المربعات الكاملة من الجذور.
    مثال: $F = 10\sqrt{5} - 7(3\sqrt{5}) - 4\sqrt{5}$.
  4. جمع العوامل: اجمع أو اطرح معاملات الجذر المشترك.
    مثال: $F = (10 - 21 - 4)\sqrt{5} = -15\sqrt{5}$.

للعبارات التي تحتوي على ضرب (مثل E و L) أو أقواس (مثل H)، قم بتبسيطها أولاً.

✅ الحل الكامل والمفصل

$A = 2\sqrt{72} - \sqrt{200} = 2\sqrt{36 \times 2} - \sqrt{100 \times 2} = 2(6\sqrt{2}) - 10\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

$B = \sqrt{27} + 7\sqrt{75} - \sqrt{300} = \sqrt{9 \times 3} + 7\sqrt{25 \times 3} - \sqrt{100 \times 3} = 3\sqrt{3} + 7(5\sqrt{3}) - 10\sqrt{3} = (3+35-10)\sqrt{3} = 28\sqrt{3}$.

$C = \sqrt{27} + 2\sqrt{75} - 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 2(5\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = (3+10-4)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

$D = \sqrt{12} - 3\sqrt{75} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{27} = 2\sqrt{3} - 3(5\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} + 5(3\sqrt{3}) = (2-15+2+15)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

$E = \sqrt{5 \times 15} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$.

$F = \sqrt{500} - 7\sqrt{45} - \sqrt{80} = \sqrt{100 \times 5} - 7\sqrt{9 \times 5} - \sqrt{16 \times 5} = 10\sqrt{5} - 7(3\sqrt{5}) - 4\sqrt{5} = (10-21-4)\sqrt{5} = -15\sqrt{5}$.

$G = \sqrt{45} - \sqrt{5} = \sqrt{9 \times 5} - \sqrt{5} = 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

$I = \sqrt{12} - \sqrt{75} - 2\sqrt{27} = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 2(3\sqrt{3}) = (2-5-6)\sqrt{3} = -9\sqrt{3}$.

$K = \sqrt{3} + 3\sqrt{27} = \sqrt{3} + 3(3\sqrt{3}) = (1+9)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.

$J = 6\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{192} = 6(2\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} + \sqrt{64 \times 3} = 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = (12-3+8)\sqrt{3} = 17\sqrt{3}$.

$L = 4\sqrt{2 \times 90} = 4\sqrt{180} = 4\sqrt{36 \times 5} = 4(6\sqrt{5}) = 24\sqrt{5}$.

$M = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{125} - 7\sqrt{45} = 2\sqrt{5} + 2(5\sqrt{5}) - 7(3\sqrt{5}) = (2+10-21)\sqrt{5} = -9\sqrt{5}$.

$H = (6^2 + 2(6)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2) - (16 \times 3) = (36+24\sqrt{3}+12) - 48 = 48+24\sqrt{3}-48 = 24\sqrt{3}$.

$N = 6\sqrt{28} + 10\sqrt{7} - 8\sqrt{63} = 6(2\sqrt{7}) + 10\sqrt{7} - 8(3\sqrt{7}) = (12+10-24)\sqrt{7} = -2\sqrt{7}$.