التمرين عدد 1

محور: الحساب في IR
تمرين

تبسيط عبارات جذرية

ليكن العبارات التالية:

  • $a = 2 \times \sqrt{(\sqrt{15}-4)^2} - \sqrt{60} + \frac{60}{\sqrt{60}}$
  • $b = \sqrt{64+4\sqrt{60}} - \sqrt{540}$
  • $e = 3\sqrt{12} + \sqrt{48} - \sqrt{75} - \sqrt{3} + \sqrt{49}$
  1. بيّن أن $a = 8 - 2\sqrt{15}$ و $b = 8 + 2\sqrt{15}$ و $C = \sqrt{7+4\sqrt{3}}$.
  2. بيّن أن $a \times b = 4$ واستنتج علامة $a$.
  3. أنشر واختصر العبارة $(2+\sqrt{3})^2$ ثم اختصر العبارة $C$.
  4. لتكن العبارة $d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
    1. بيّن أن $d^2 = 12$ ثم استنتج $d$.
    2. بيّن أن $d + 2C$ عدد صحيح طبيعي.
  5. لتكن العبارة $E = \frac{a}{b}$. بيّن أن $E = 31 - 8\sqrt{15}$.
  6. اختصر كلا من العبارتين: $F = \frac{b}{4}a^2 - a$ و $G = \sqrt{a}(\sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{a}}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{b}})$.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • قاعدة $\sqrt{A^2}=|A|$: عند حساب $\sqrt{(\sqrt{15}-4)^2}$، لا تنس وضع القيمة المطلقة وتحديد إشارة ما بداخلها أولاً.
  • الجذور المزدوجة: لتبسيط جذر مثل $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$, حاول كتابة $7+4\sqrt{3}$ على شكل مربع كامل $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.
  • استغلال النتائج: كل سؤال يعتمد على نتائج الأسئلة السابقة. استخدم قيمة $a \times b$ في الأسئلة 4، 5، و6 لتبسيط الحسابات بشكل كبير.
  • المرافق: لحساب $E = a/b$, اضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

📝 طريقة الحل

1) لتبسيط a: احسب $\sqrt{(\sqrt{15}-4)^2}=|\sqrt{15}-4|=4-\sqrt{15}$. بسّط $\frac{60}{\sqrt{60}}=\sqrt{60}$. ستجد أن الحدين الأخيرين يلغيان بعضهما.
لتبسيط b:

ملاحظة: الصيغة الأولية لـ b في نص التمرين لا تؤدي إلى النتيجة المطلوبة. سنعتمد على أن $b=8+2\sqrt{15}$ كما هو مطلوب في السؤال.

2) للجداء والعلامة: اضرب $(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$ باستخدام الجداء المعتبر $(x-y)(x+y)$. لتحديد علامة a، قارن مربعي 8 و $2\sqrt{15}$.

3) لـ C: انشر $(2+\sqrt{3})^2$. ستلاحظ أن الناتج هو ما بداخل جذر C، مما يسمح بتبسيطه.

4) لـ d: احسب $d^2=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$. استخدم القيم التي وجدتها لـ $a+b$ و $ab$. لاستنتاج $d$, خذ الجذر التربيعي لـ 12 وحدد الإشارة بمقارنة $a$ و $b$.

5) لـ E: احسب $\frac{a}{b} = \frac{a^2}{ab}$. استخدم قيمة $ab$ من السؤال 2 وقيمة $a^2$ التي ستحسبها.

6) لـ F و G: عوض $b=\frac{4}{a}$ في F. وانشر الأقواس في G واستخدم قيمة $\sqrt{ab}$.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $a = 8 - 2\sqrt{15}$ و $b = 8 + 2\sqrt{15}$

حساب a: $a = 2 \times \sqrt{(\sqrt{15}-4)^2} - \sqrt{60} + \frac{60}{\sqrt{60}}$.
بما أن $\sqrt{15} \approx 3.87 < 4$, فإن $\sqrt{15}-4$ سالب. إذن $|\sqrt{15}-4|=4-\sqrt{15}$.
$a = 2(4-\sqrt{15}) - \sqrt{60} + \sqrt{60} = 8 - 2\sqrt{15}$.

حساب b:

الصيغة الأولية $b = \sqrt{64+4\sqrt{60}} - \sqrt{540}$ تؤدي إلى $2-4\sqrt{15}$. سنكمل التمرين باستخدام القيمة الصحيحة المطلوبة وهي $b=8+2\sqrt{15}$.

حساب e: $e = 3(2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - \sqrt{3} + 7 = (6+4-5-1)\sqrt{3}+7 = 4\sqrt{3}+7$.

2. حساب $a \times b$ واستنتاج علامة $a$

$a \times b = (8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15}) = 8^2-(2\sqrt{15})^2 = 64-(4 \times 15) = 64-60 = 4$.

علامة a: نقارن 8 و $2\sqrt{15}$ بتربيع الطرفين: $8^2=64$ و $(2\sqrt{15})^2=60$. بما أن $64>60$, فإن $8>2\sqrt{15}$, وبالتالي $a = 8-2\sqrt{15}$ هو عدد موجب.

3. نشر واختصار C

$(2+\sqrt{3})^2 = 2^2+2(2)\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}$.

$C = \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

4. حساب $d^2$ واستنتاج $d$

أ) $d^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$.
$a+b = (8-2\sqrt{15})+(8+2\sqrt{15}) = 16$.
$d^2 = 16 - 2\sqrt{4} = 16 - 2(2) = 12$.
استنتاج d: $d=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$. بما أن $a

ب) $d+2C = -2\sqrt{3} + 2(2+\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}=4$. و 4 عدد صحيح طبيعي.

5. تبيين أن $E = 31 - 8\sqrt{15}$

$E = \frac{a}{b} = \frac{a \times a}{b \times a} = \frac{a^2}{ab} = \frac{(8-2\sqrt{15})^2}{4}$.

$E = \frac{64 - 2(8)(2\sqrt{15}) + (2\sqrt{15})^2}{4} = \frac{64-32\sqrt{15}+60}{4} = \frac{124-32\sqrt{15}}{4} = 31-8\sqrt{15}$.

6. اختصار F و G

$F = \frac{b}{4}a^2 - a$. بما أن $ab=4 \implies b=\frac{4}{a}$.
$F = \frac{4/a}{4}a^2-a = \frac{1}{a}a^2-a = a-a=0$.

$G = \sqrt{a}\sqrt{b} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + \sqrt{b}\sqrt{a} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \sqrt{ab}-1+\sqrt{ab}-1 = 2\sqrt{ab}-2 = 2\sqrt{4}-2 = 4-2=2$.