دليل المساعدة للحساب في الأعداد الحقيقية

مرحبًا بك في تمارين الحساب في الأعداد الحقيقية! يهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على فهم كيفية تبسيط وحساب العبارات الجبرية التي تحتوي على الجذور التربيعية والكسور بفعالية.

التمرين رقم 2

محور: الحساب في IR
تمرين

أحسب ما يلي

  • $a = \sqrt{\frac{32}{2}}\left(\frac{\sqrt{18}-\sqrt{40}}{2\sqrt{2}}\right)$
  • $b = \frac{2}{\sqrt{5}-2} - \frac{1}{\sqrt{5}+2} + \sqrt{45} - 1$
  • $c = \sqrt{9+4\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{(a+3)}{16(b+4)}}$
  • $d = \sqrt{\left(\frac{3}{2}-\sqrt{5}\right)^2} + 1 - \sqrt{5} - \frac{\sqrt{20}-\sqrt{10}}{\sqrt{8}-4}$
  • $e = \frac{1}{2} - \frac{6-(1+\sqrt{5})^2}{4}$
  • $f = 2\sqrt{75} - 3(\sqrt{12}+2)$
  • $g = 1 - \frac{(3\sqrt{3}-5)(3+\sqrt{3})}{2}$
  • $h = \frac{1}{\sqrt{5}-1} - \left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3-\sqrt{5}}{4}\right)$
  • $i = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}} + 1$
  • $j = \frac{(3-\sqrt{5})(14+6\sqrt{5})}{3+\sqrt{5}}$
  • $k = \frac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4}$
  • $l = \frac{1}{3}(6\sqrt{7}-45) - (2-3\sqrt{7})(\sqrt{7}-1)$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • الجذور المزدوجة: لتبسيط جذر من نوع $\sqrt{X \pm Y\sqrt{Z}}$, حاول كتابة ما بداخل الجذر على شكل مربع كامل $(A \pm B)^2$.
  • قاعدة $\sqrt{A^2}=|A|$: لا تنس استخدام القيمة المطلقة عند تبسيط جذر لعدد مربع، ثم تحديد إشارة ما بداخل القيمة المطلقة.
  • المرافق: لإزالة الجذر من المقام، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام. مرافق $A-B$ هو $A+B$.
  • توحيد المقامات: قبل جمع أو طرح الكسور، يجب توحيد مقاماتها.
  • النشر والتفكيك: انشر الأقواس لتجميع الحدود المتشابهة، أو فكك الحدود لإيجاد عوامل مشتركة.

📝 طريقة الحل

a: بسّط $\sqrt{32/2}=\sqrt{16}=4$. بسّط الجذور في البسط $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ و $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. ثم وزع القسمة على الطرح.

b: وحّد مقامي الكسرين الأولين. المقام المشترك هو $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1$. بسّط $\sqrt{45}$. ثم اجمع كل الحدود.

c: لاحظ أن $9+4\sqrt{5} = 4+4\sqrt{5}+5 = 2^2+2(2)\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2 = (2+\sqrt{5})^2$.

i و k: لاحظ أن $6-2\sqrt{5} = 5-2\sqrt{5}+1 = (\sqrt{5}-1)^2$. استخدم هذه النتيجة لتبسيط الجذر.

j: في البسط، لاحظ أن $14+6\sqrt{5} = 2(7+3\sqrt{5})$. حاول إيجاد علاقة بين $(3-\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})$ والمقام.

لباقي العبارات: اتبع القواعد الأساسية للنشر والتبسيط وتفكيك الجذور. لكل عبارة، عالج كل حد على حدة قبل تجميع النتائج.

✅ الحل الكامل والمفصل

a) $a = \sqrt{\frac{32}{2}}\left(\frac{\sqrt{18}-\sqrt{40}}{2\sqrt{2}}\right) = 4\left(\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}\right) = 4\left(\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}\right) = 4\left(\frac{3}{2} - \sqrt{5}\right) = 6-4\sqrt{5}$.

b) $b = \frac{2(\sqrt{5}+2)-1(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} + 3\sqrt{5}-1 = \frac{2\sqrt{5}+4-\sqrt{5}+2}{5-4} + 3\sqrt{5}-1 = (\sqrt{5}+6)+3\sqrt{5}-1 = 4\sqrt{5}+5$.

c) $\sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} = 2+\sqrt{5}$.

الحد الثاني من العبارة c يعتمد على متغيرات a و b غير معرّفة في سياق هذا التمرين، لذا لا يمكن حسابه.

d) $\sqrt{(\frac{3}{2}-\sqrt{5})^2} = |\frac{3}{2}-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-\frac{3}{2}$. الحد الأخير: $\frac{\sqrt{20}-\sqrt{10}}{\sqrt{8}-4} = \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}{2\sqrt{2}-4}$. لا يوجد تبسيط واضح.
$d = \sqrt{5}-\frac{3}{2}+1-\sqrt{5} - \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}{2\sqrt{2}-4} = -\frac{1}{2} - \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}{2\sqrt{2}-4}$.

e) $e = \frac{1}{2} - \frac{6-(1+2\sqrt{5}+5)}{4} = \frac{1}{2} - \frac{6-(6+2\sqrt{5})}{4} = \frac{1}{2} - \frac{-2\sqrt{5}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

f) $f = 2(5\sqrt{3}) - 3(2\sqrt{3}+2) = 10\sqrt{3}-6\sqrt{3}-6 = 4\sqrt{3}-6$.

g) $g = 1 - \frac{9\sqrt{3}+9-15-5\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{4\sqrt{3}-6}{2} = 1 - (2\sqrt{3}-3) = 4-2\sqrt{3}$.

h) $h = \frac{\sqrt{5}+1}{4} - \frac{10-2\sqrt{20}+2}{4} + \frac{9-3\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1 - (12-4\sqrt{5}) + 9-3\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1-12+4\sqrt{5}+9-3\sqrt{5}}{4} = \frac{2\sqrt{5}-2}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

i) $\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}{2} = \frac{|\sqrt{5}-1|}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. إذن $i = \frac{\sqrt{5}-1}{2}+1 = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

j) $j = \frac{42+18\sqrt{5}-14\sqrt{5}-30}{3+\sqrt{5}} = \frac{12+4\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{3+\sqrt{5}} = 4$.

k) $\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1$. إذن $k=\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{5-1}{4}=1$.

l) $l = (2\sqrt{7}-15) - (2\sqrt{7}-2-21+3\sqrt{7}) = 2\sqrt{7}-15 - (5\sqrt{7}-23) = 2\sqrt{7}-15-5\sqrt{7}+23 = 8-3\sqrt{7}$.