مرحبًا بك في تمارين الجزء السابع للحساب الجبري! يهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على فهم كيفية تبسيط العبارات الجبرية وحل المعادلات التي تحتوي على الجذور التربيعية والقيم المطلقة بفعالية.
نعتبر العبارة $A = (x - 3\sqrt{2})(2x + 1) - 2x + \sqrt{72}$
للسؤال الأول، حاول تبسيط $\sqrt{72}$ أولاً. للسؤال الثاني، استخدم الشكل المبسط لـ $A$ ولاحظ أن جزءاً من العبارة معطى مباشرة.
1) تبيين أنّ $A = (x - 3\sqrt{2})(2x - 1)$
$A = (x - 3\sqrt{2})(2x + 1) - 2x + \sqrt{72}$
نعلم أن $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$.
$A = 2x^2 + x - 6x\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 2x + 6\sqrt{2}$
$A = 2x^2 + (x - 2x) + (-6x\sqrt{2}) + (-3\sqrt{2} + 6\sqrt{2})$
$A = 2x^2 - x - 6x\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
الآن، لنضع $x$ و $-3\sqrt{2}$ كعوامل مشتركة:
$A = x(2x - 1) - 3\sqrt{2}(2x - 1)$
$A = (x - 3\sqrt{2})(2x - 1)$ وهو المطلوب.
2) حساب $|A|$
لدينا $x - 3\sqrt{2} = -\sqrt{2}$, هذا يعني أن $x = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
نعوض في العبارة المبسطة: $A = (x - 3\sqrt{2})(2x - 1)$.
يمكننا التعويض مباشرة بالجزء الأول: $A = (-\sqrt{2})(2x - 1)$.
والآن نعوض بقيمة $x$: $A = (-\sqrt{2})(2(2\sqrt{2}) - 1) = (-\sqrt{2})(4\sqrt{2} - 1)$.
$A = -4(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = -4 \times 2 + \sqrt{2} = -8 + \sqrt{2}$.
بما أن $\sqrt{2} \approx 1.414$, فإن $-8 + \sqrt{2}$ عدد سالب.
إذًا، $|A| = |-8 + \sqrt{2}| = -(-8 + \sqrt{2}) = 8 - \sqrt{2}$.
أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة:
استخدم دائماً الصيغة المبسطة (المفككة) لـ $A$. تذكر أن جداء يساوي صفراً يعني أن أحد عوامله يساوي صفراً. "متقابلان" يعني أن مجموعهما يساوي صفراً.
1) حالة $A=0$
لدينا $A = (x - 3\sqrt{2})(2x - 1) = 0$.
هذا يعني أن: $x - 3\sqrt{2} = 0$ أو $2x - 1 = 0$.
إذًا $x = 3\sqrt{2}$ أو $2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
مجموعة الحلول هي $\{3\sqrt{2}, \frac{1}{2}\}$.
2) حالة $A$ و $1-2x$ متقابلان
هذا يعني $A + (1 - 2x) = 0$, أي $A = -(1-2x) = 2x-1$.
نعوض $A$: $(x - 3\sqrt{2})(2x - 1) = 2x - 1$.
ننقل كل الحدود إلى طرف واحد: $(x - 3\sqrt{2})(2x - 1) - (2x - 1) = 0$.
نأخذ $(2x-1)$ كعامل مشترك: $(2x - 1) [ (x - 3\sqrt{2}) - 1 ] = 0$.
$(2x - 1)(x - 3\sqrt{2} - 1) = 0$.
هذا يعني أن: $2x-1=0$ أو $x - 3\sqrt{2} - 1 = 0$.
إذًا $x = \frac{1}{2}$ أو $x = 1 + 3\sqrt{2}$.
مجموعة الحلول هي $\{\frac{1}{2}, 1+3\sqrt{2}\}$.
أحسب $F = 3xy - 2\sqrt{3}y$ إذا كان $|y| = \frac{5}{\sqrt{3}}$ و $|2 - x\sqrt{3}| = 4$.
ابدأ بتفكيك العبارة $F$ بأخذ $y$ كعامل مشترك. بعد ذلك، حل معادلتي القيمة المطلقة لإيجاد القيم الممكنة لـ $x$ و $y$. انتبه، قد يكون هناك أكثر من إجابة ممكنة!
1) تفكيك F: $F = y(3x - 2\sqrt{3})$.
2) إيجاد قيم y:
$|y| = \frac{5}{\sqrt{3}}$ يعني $y = \frac{5}{\sqrt{3}}$ أو $y = -\frac{5}{\sqrt{3}}$.
3) إيجاد قيم x:
$|2 - x\sqrt{3}| = 4$ يعني $2 - x\sqrt{3} = 4$ أو $2 - x\sqrt{3} = -4$.
- الحالة الأولى: $2 - x\sqrt{3} = 4 \Rightarrow -x\sqrt{3} = 2 \Rightarrow x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.
- الحالة الثانية: $2 - x\sqrt{3} = -4 \Rightarrow -x\sqrt{3} = -6 \Rightarrow x = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
4) حساب F: لدينا أربع حالات ممكنة.
إذًا، $F = y \times (\pm 4\sqrt{3})$.
- الحالة أ: $y=\frac{5}{\sqrt{3}}$ و $(3x - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \Rightarrow F = \frac{5}{\sqrt{3}} \times 4\sqrt{3} = 20$.
- الحالة ب: $y=\frac{5}{\sqrt{3}}$ و $(3x - 2\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} \Rightarrow F = \frac{5}{\sqrt{3}} \times (-4\sqrt{3}) = -20$.
- الحالات مع $y = -\frac{5}{\sqrt{3}}$ ستعطي نفس القيمتين ($ -20$ و $20$).
الاستنتاج: العبارة $F$ يمكن أن تأخذ قيمتين: $\mathbf{20}$ أو $\mathbf{-20}$.
أوجد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة:
أ) $(3x - 1)^2 - 4 = 0$
ب) $\sqrt{x^2} + 1 = 2\sqrt{5}$
ج) $\sqrt{x^2+1} + 1 = 5$
أ) اعزل التربيع ثم خذ الجذر. ب) تذكر أن $\sqrt{x^2}=|x|$. ج) اعزل الجذر ثم اربع الطرفين. د) انتبه لمجال تعريف $\sqrt{-2x}$ أولاً!
أ) $(3x - 1)^2 - 4 = 0$
$(3x - 1)^2 = 4 \Rightarrow 3x - 1 = \sqrt{4}$ أو $3x - 1 = -\sqrt{4}$.
$3x - 1 = 2 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$.
$3x - 1 = -2 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
الحلول: $\{1, -\frac{1}{3}\}$.
ب) $\sqrt{x^2} + 1 = 2\sqrt{5}$
$|x| + 1 = 2\sqrt{5} \Rightarrow |x| = 2\sqrt{5} - 1$.
بما أن $2\sqrt{5} - 1 > 0$, لدينا حلان:
$x = 2\sqrt{5} - 1$ أو $x = -(2\sqrt{5} - 1) = 1 - 2\sqrt{5}$.
ج) $\sqrt{x^2+1} + 1 = 5$
$\sqrt{x^2+1} = 4$. نربع الطرفين: $x^2+1 = 16 \Rightarrow x^2 = 15$.
الحلول: $x = \sqrt{15}$ أو $x = -\sqrt{15}$.
د) $\sqrt{(x+5)^2} - 1 = \sqrt{-2x}$ (تحدي)
1. مجال التعريف: يجب أن يكون ما تحت الجذر موجباً: $-2x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$.
2. تبسيط المعادلة: $|x+5| - 1 = \sqrt{-2x}$.
3. دراسة الحالات حسب $x \le 0$:
- الحالة 1: $-5 \le x \le 0$. هنا $x+5 \ge 0$, إذن $|x+5| = x+5$.
المعادلة تصبح $x+5-1 = \sqrt{-2x} \Rightarrow x+4 = \sqrt{-2x}$.
لكي يكون الحل ممكناً, يجب أن يكون $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$. إذن نحن نعمل في المجال $[-4, 0]$.
نربع الطرفين: $(x+4)^2 = -2x \Rightarrow x^2+8x+16 = -2x \Rightarrow x^2+10x+16=0$.
$(x+2)(x+8)=0$. الحلول الممكنة هي $x=-2$ و $x=-8$.
$x=-2$ مقبول لأنه ينتمي إلى $[-4, 0]$. $x=-8$ مرفوض.
- الحالة 2: $x < -5$. هنا $x+5 < 0$, إذن $|x+5| = -(x+5)$.
المعادلة تصبح $-(x+5)-1 = \sqrt{-2x} \Rightarrow -x-6 = \sqrt{-2x}$.
لكي يكون الحل ممكناً, يجب أن يكون $-x-6 \ge 0 \Rightarrow -x \ge 6 \Rightarrow x \le -6$. نحن نعمل في المجال $]-\infty, -6]$.
نربع الطرفين: $(-x-6)^2 = -2x \Rightarrow (x+6)^2 = -2x \Rightarrow x^2+12x+36 = -2x \Rightarrow x^2+14x+36=0$.
$\Delta = 14^2 - 4(36) = 196-144 = 52$. الحلول: $x = \frac{-14 \pm \sqrt{52}}{2} = -7 \pm \sqrt{13}$.
$x_1 = -7+\sqrt{13} \approx -3.39$ (مرفوض لأنه ليس $\le -6$).
$x_2 = -7-\sqrt{13} \approx -10.6$ (مقبول لأنه $\le -6$).
مجموعة الحلول النهائية: $\{-2, -7-\sqrt{13}\}$.