دليل المساعدة لتبسيط العبارات الجبرية وحل المعادلات

مرحبًا بك في تمارين الجزء السابع لتبسيط العبارات الجبرية وحل المعادلات! يهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على فهم كيفية تبسيط العبارات وحل المعادلات بفعالية، مع التركيز على الجذور التربيعية، القيم المطلقة، والمعادلات المتنوعة.

الجزء السابع

تبسيط عبارات وحل معادلات
تمرين

العبارات الجبرية والمعادلات

نعتبر العبارة $A=(x-3\sqrt{2})(2x+1)-2x+\sqrt{72}$.

  1. بيّن أن $A=(x-3\sqrt{2})(2x-1)$.
  2. احسب $|A|$ إذا علمت أن $x-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
  3. أوجد x في كل حالة:
    • A و $1-2x$ متقابلان
    • $A=0$
    • $(3x-1)^2-4=0$
    • $\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{5}$
    • $|2-x\sqrt{3}|=4$
  4. احسب $F=3xy-2\sqrt{3}y$ إذا كان $|y|=\frac{5}{\sqrt{3}}$.
  5. أوجد العدد الحقيقي x في كل حالة:
    • $\sqrt{(x+5)^2}-1=-\sqrt{2}x$
    • $(\sqrt{x+1})^2+1=5$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • للتبسيط (س1): بسّط $\sqrt{72}$ ثم حاول إيجاد عامل مشترك بين الجزء الثاني من العبارة والقوس $(x-3\sqrt{2})$.
  • للقيمة المطلقة (س2): استخدم المعطى لتعويض جزء من A. أوجد قيمة x من المعطى لتعويض الجزء الآخر. ثم احسب قيمة A وحدد إشارتها.
  • متقابلان (س3): عددان متقابلان مجموعهما صفر. اكتب المعادلة $A+(1-2x)=0$ ثم حلها.
  • معادلات (س3 و س5): استخدم الجداء المعتبر $a^2-b^2=0$, تعريف القيمة المطلقة $|U|=V \implies U=V \text{ or } U=-V$, وتربيع الطرفين في معادلات الجذور (مع الانتباه لشروط الحل).
  • حساب F (س4): لاحظ أن السؤال يطلب حساب F بدلالة x لأنه لا توجد قيمة لـ x. يجب التعامل مع حالتين لقيمة $y$.

📝 طريقة الحل

1) تبسيط A: بسّط $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. لاحظ أن $-2x+6\sqrt{2} = -2(x-3\sqrt{2})$. الآن خذ $(x-3\sqrt{2})$ كعامل مشترك.

2) حساب $|A|$: لديك $A=(x-3\sqrt{2})(2x-1)$. عوض $x-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$. من $x-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$ تجد أن $x=2\sqrt{2}$. عوض قيمة x في $(2x-1)$ ثم احسب A. أخيرًا، حدد إشارة A لحساب القيمة المطلقة.

3) حل المعادلات:

  • متقابلان: المعادلة هي $(x-3\sqrt{2})(2x-1) + (1-2x) = 0$. لاحظ أن $1-2x = -(2x-1)$. خذ $(2x-1)$ عامل مشترك.
  • A=0: حلل المعادلة $(x-3\sqrt{2})(2x-1)=0$.
  • $(3x-1)^2-4=0$: اكتبها على شكل $(3x-1)^2-2^2=0$ واستخدم الجداء المعتبر.

4) حساب F: $|y|=\frac{5}{\sqrt{3}}$ يعني أن $y=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ أو $y=-\frac{5\sqrt{3}}{3}$. احسب F في كل حالة. ستبقى النتيجة بدلالة x.

5) حل المعادلات الأخيرة:

  • $\sqrt{(x+5)^2}-1=-\sqrt{2}x$ تصبح $|x+5|-1=-\sqrt{2}x$. ادرس حالتين: $x \ge -5$ و $x < -5$.
  • $(\sqrt{x+1})^2+1=5$ تصبح $x+1+1=5$ بشرط أن يكون $x+1 \ge 0$.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $A=(x-3\sqrt{2})(2x-1)$

$A = (x-3\sqrt{2})(2x+1) - 2x + \sqrt{72} = (x-3\sqrt{2})(2x+1) - 2x + 6\sqrt{2}$

$A = (x-3\sqrt{2})(2x+1) - 2(x - 3\sqrt{2})$

$A = (x-3\sqrt{2}) \left[ (2x+1) - 2 \right] = (x-3\sqrt{2})(2x-1)$.

2. حساب $|A|$

لدينا $x-3\sqrt{2}=-\sqrt{2} \implies x=2\sqrt{2}$.

$A = (x-3\sqrt{2})(2x-1) = (-\sqrt{2})(2(2\sqrt{2})-1) = (-\sqrt{2})(4\sqrt{2}-1) = -8+\sqrt{2}$.

بما أن $8 > \sqrt{2}$, فإن $-8+\sqrt{2}$ عدد سالب. إذن $|A| = |-8+\sqrt{2}| = -(-8+\sqrt{2}) = 8-\sqrt{2}$.

3. إيجاد x في كل حالة

  • A و $1-2x$ متقابلان: $A+(1-2x)=0 \implies (x-3\sqrt{2})(2x-1)-(2x-1)=0 \implies (2x-1)(x-3\sqrt{2}-1)=0$.
    الحلول هي: $x=\frac{1}{2}$ أو $x=1+3\sqrt{2}$.
  • $A=0$: $(x-3\sqrt{2})(2x-1)=0$. الحلول هي: $x=3\sqrt{2}$ أو $x=\frac{1}{2}$.
  • $(3x-1)^2-4=0$: $(3x-1-2)(3x-1+2)=0 \implies (3x-3)(3x+1)=0$.
    الحلول هي: $x=1$ أو $x=-\frac{1}{3}$.
  • $\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{5}$: $x^2+1=20 \implies x^2=19$. الحلول هي: $x=\sqrt{19}$ أو $x=-\sqrt{19}$.
  • $|2-x\sqrt{3}|=4$: إما $2-x\sqrt{3}=4 \implies x=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$. أو $2-x\sqrt{3}=-4 \implies x=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.

4. حساب F

ملاحظة: لا يمكن إيجاد قيمة عددية لـ F لأن قيمة x غير معطاة. سنحسب F بدلالة x.
  • الحالة 1: $y = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
    $F = 3x(\frac{5\sqrt{3}}{3}) - 2\sqrt{3}(\frac{5\sqrt{3}}{3}) = 5x\sqrt{3} - 2(3)(\frac{5}{3}) = 5x\sqrt{3}-10$.
  • الحالة 2: $y = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$
    $F = 3x(-\frac{5\sqrt{3}}{3}) - 2\sqrt{3}(-\frac{5\sqrt{3}}{3}) = -5x\sqrt{3}+10$.

5. إيجاد x في كل حالة

  • $\sqrt{(x+5)^2}-1=-\sqrt{2}x$: تصبح $|x+5|-1=-\sqrt{2}x$.
    إذا $x \ge -5$: $x+5-1=-\sqrt{2}x \implies x+4=-\sqrt{2}x \implies x(1+\sqrt{2})=-4 \implies x=4-4\sqrt{2}$ (مقبول لأنه $\approx -1.65 > -5$).
    إذا $x < -5$: $-(x+5)-1=-\sqrt{2}x \implies -x-6=-\sqrt{2}x \implies x(\sqrt{2}-1)=6 \implies x=6+6\sqrt{2}$ (مرفوض لأنه $> -5$).
    الحل الوحيد هو $x=4-4\sqrt{2}$.
  • $(\sqrt{x+1})^2+1=5$: الشرط $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
    المعادلة تصبح $x+1+1=5 \implies x+2=5 \implies x=3$.
    الحل مقبول لأنه يحقق الشرط $3 \ge -1$.