دليل المساعدة لحل معادلات متنوعة

مرحبًا بك في تمارين الجزء السادس لحل معادلات متنوعة في الأعداد الحقيقية! يهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على فهم كيفية حل هذه المعادلات بفعالية، مع التركيز على المربعات، القيم المطلقة، والجذور التربيعية.

الجزء السادس

حل معادلات متنوعة
تمرين

أوجد العدد الحقيقي x في كل حالة

  • $(x+2)^2 - 9 = 0$
  • $|x-2|-1 = \sqrt{3}$
  • $\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^2$
  • $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3}$
  • $\sqrt{6} = x\sqrt{3}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • الجداء المعتبر: للمعادلة الأولى، تذكر أن $a^2-b^2=0$ تكافئ $(a-b)(a+b)=0$.
  • القيمة المطلقة: تذكر أن $\sqrt{A^2}=|A|$. وتذكر أن $|Y|=B$ (حيث $B \ge 0$) تكافئ $Y=B$ أو $Y=-B$.
  • معادلات الجذور: لحل $\sqrt{A}=\sqrt{B}$، ربّع الطرفين لتحصل على $A=B$. لا تنس التحقق من مجال التعريف: يجب أن يكون $A \ge 0$ و $B \ge 0$.
  • عزل المجهول: في المعادلات البسيطة، الهدف هو عزل المتغير $x$ في طرف واحد من المعادلة.

📝 طريقة الحل

1) $(x+2)^2 - 9 = 0$: لاحظ أن $9=3^2$. استخدم الجداء المعتبر $A^2-B^2=0$ حيث $A=x+2$ و $B=3$. هذا يعطي $(x+2-3)(x+2+3)=0$.

2) $|x-2|-1 = \sqrt{3}$: اعزل القيمة المطلقة أولاً بنقل -1 إلى الطرف الآخر. ستحصل على $|x-2|=1+\sqrt{3}$. الآن، قسم الحل إلى حالتين.

3) $\sqrt{(x+\frac{2}{3})^2} = (-\frac{1}{2})^2$: بسّط الطرفين. الطرف الأيسر يصبح $|x+\frac{2}{3}|$ والطرف الأيمن يصبح $\frac{1}{4}$. ثم حل المعادلة $|x+\frac{2}{3}|=\frac{1}{4}$.

4) $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3}$: أولاً، حدد شروط الحل: $x+2 \ge 0$ و $2x-3 \ge 0$. بعد إيجاد مجال التعريف، ربّع الطرفين لحذف الجذور وحل المعادلة الناتجة. تأكد أن الحل ينتمي لمجال التعريف.

5) $\sqrt{6} = x\sqrt{3}$: لعزل $x$, اقسم الطرفين على $\sqrt{3}$. ستحصل على $x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$. استخدم القاعدة $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ للتبسيط.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. حل المعادلة $(x+2)^2 - 9 = 0$

$(x+2)^2 - 3^2 = 0$

$(x+2-3)(x+2+3) = 0$

$(x-1)(x+5) = 0$

إما $x-1=0$ وبالتالي $x=1$.

أو $x+5=0$ وبالتالي $x=-5$.

مجموعة الحلول هي $S = \{ -5, 1 \}$.

2. حل المعادلة $|x-2|-1 = \sqrt{3}$

$|x-2| = 1+\sqrt{3}$

إما $x-2 = 1+\sqrt{3}$ وبالتالي $x = 3+\sqrt{3}$.

أو $x-2 = -(1+\sqrt{3}) = -1-\sqrt{3}$ وبالتالي $x = 2-1-\sqrt{3} = 1-\sqrt{3}$.

مجموعة الحلول هي $S = \{ 1-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3} \}$.

3. حل المعادلة $\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^2$

$\left|x+\frac{2}{3}\right| = \frac{1}{4}$

إما $x+\frac{2}{3} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} = \frac{3-8}{12} = -\frac{5}{12}$.

أو $x+\frac{2}{3} = -\frac{1}{4} \implies x = -\frac{1}{4} - \frac{2}{3} = \frac{-3-8}{12} = -\frac{11}{12}$.

مجموعة الحلول هي $S = \{ -\frac{11}{12}, -\frac{5}{12} \}$.

4. حل المعادلة $\sqrt{x+2} = \sqrt{2x-3}$

شروط الحل: يجب أن تكون العبارات تحت الجذر موجبة أو صفرية.

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{2}$

يجب أن يتحقق الشرطان معاً، إذن مجال التعريف هو $x \in [\frac{3}{2}, +\infty)$.

حل المعادلة: نربع الطرفين.

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{2x-3})^2 \implies x+2 = 2x-3$

$2+3 = 2x-x \implies x=5$.

التحقق: العدد 5 ينتمي لمجال التعريف $[\frac{3}{2}, +\infty)$, إذن الحل مقبول.

مجموعة الحلول هي $S = \{5\}$.

5. حل المعادلة $\sqrt{6} = x\sqrt{3}$

$x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.

مجموعة الحلول هي $S = \{\sqrt{2}\}$.