دليل المساعدة لتمارين الحساب في الأعداد الحقيقية

مرحبًا بك في تمارين الجزء الأول لحساب وتبسيط العبارات الجبرية في الأعداد الحقيقية! يهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على فهم كيفية تبسيط هذه العبارات وحسابها بفعالية، مع التركيز على الجذور التربيعية والكسور.

الجزء الأول

محور: الحساب في IR
تمرين

حساب وتبسيط العبارات

  1. احسب العبارات التالية:
    • $C = \sqrt{\frac{126}{2}} - \sqrt{\frac{75}{3}} + 2\sqrt{\frac{140}{5}}$
    • $D = \frac{3(\sqrt{5}-2)+\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$
    • $E = \frac{1}{\sqrt{5}} \times (\sqrt{20}+\frac{1}{\sqrt{5}}) - (\frac{1}{5}-\sqrt{5})$
  2. احسب $E \times D$. ثم استنتج حسابا لـ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} - 4\sqrt{5}$.
  3. أوجد العدد الحقيقي x بحيث $\sqrt{x^2+2} = 2\sqrt{5}$.
  4. أنشر واختصر العبارات التالية:
    • $K = \frac{1}{\sqrt{7}}(\sqrt{28}-\frac{x}{\sqrt{7}}) - \sqrt{2}(\sqrt{8}x + \frac{1}{\sqrt{32}})$
    • $L = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{\frac{21}{5}}}{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{15}}}$
    • $M = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • لتبسيط الجذور: بسّط ما بداخل الجذر أولاً إن أمكن (مثلاً في C). إذا كان الجذر في المقام، فكر في الضرب في المرافق.
  • لتبسيط الكسور: في العبارة D، حاول إيجاد عامل مشترك في البسط. في العبارة L، تذكر أن قسمة كسر على كسر تساوي ضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني.
  • للنشر والتبسيط: وزع الضرب على الجمع والطرح بعناية، وانتبه للإشارات السالبة.
  • لحل المعادلات: لحل $\sqrt{A} = B$, ربّع الطرفين لتحصل على $A=B^2$ (مع التأكد أن $B \ge 0$).

📝 طريقة الحل

  1. حساب C: احسب ناتج القسمة داخل كل جذر: $\frac{126}{2}=63$, $\frac{75}{3}=25$, $\frac{140}{5}=28$. ثم بسّط الجذور الناتجة: $\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}$, $\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}$.
  2. حساب D: في البسط، لاحظ أن $\sqrt{10}-2\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5}-2)$. الآن يمكنك أخذ $(\sqrt{5}-2)$ كعامل مشترك في البسط بأكمله.
  3. حساب E: انشر القوس الأول: $\frac{1}{\sqrt{5}}(\sqrt{20}+\frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}+\frac{1}{5}$. ثم انشر القوس الثاني وأزل الأقواس.
  4. حساب $E \times D$: اضرب النتائج المبسطة لـ E و D. ستلاحظ أنه جداء معتبر.
  5. استنتاج الحساب: للعبارة $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} - 4\sqrt{5}$, اضرب بسط ومقام الكسر الأول في مرافق المقام $(\sqrt{5}+2)$.
  6. حل المعادلة في (ج): ربّع الطرفين: $(\sqrt{x^2+2})^2 = (2\sqrt{5})^2$. هذا يعطي $x^2+2 = 20$. حل المعادلة لإيجاد $x$.
  7. حساب K: انشر القوس الأول ثم الثاني. بسّط الجذور: $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
  8. حساب L: حوّل الكسر المركب إلى $\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{21}\sqrt{15}}{\sqrt{5}\sqrt{7}}$. بسّط الجذور و اختصر.
  9. حساب M: استخدم القاعدة $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ثم بسّط.

✅ الحل الكامل والمفصل

أ) حساب العبارات C, D, E:

  • $C = \sqrt{63} - \sqrt{25} + 2\sqrt{28} = \sqrt{9 \times 7} - 5 + 2\sqrt{4 \times 7} = 3\sqrt{7} - 5 + 2(2\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 5 + 4\sqrt{7} = 7\sqrt{7}-5$.
  • $D = \frac{3(\sqrt{5}-2)+\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)}{3+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}-2)(3+\sqrt{2})}{3+\sqrt{2}} = \sqrt{5}-2$.
  • $E = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \sqrt{5} = \sqrt{\frac{20}{5}} + \sqrt{5} = \sqrt{4}+\sqrt{5} = 2+\sqrt{5}$.

ب) حساب $E \times D$ واستنتاج حساب آخر:

  • $E \times D = (2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4=1$.
  • لنحسب $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} - 4\sqrt{5}$:
    $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} - 4\sqrt{5} = \frac{5+2\sqrt{5}}{5-4} - 4\sqrt{5} = 5+2\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 5-2\sqrt{5}$.

ج) إيجاد العدد الحقيقي x:

$\sqrt{x^2+2} = 2\sqrt{5}$. بتربيع الطرفين:

$x^2+2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$.

$x^2 = 20 - 2 = 18$.

إذن $x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ أو $x = -\sqrt{18} = -3\sqrt{2}$.

د) نشر واختصار العبارات K, L, M:

  • $K = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}} - \frac{x}{(\sqrt{7})^2} - (\sqrt{16}x + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{32}}) = \sqrt{4} - \frac{x}{7} - 4x - \sqrt{\frac{2}{32}} = 2 - \frac{x}{7} - 4x - \sqrt{\frac{1}{16}}$
    $K = 2 - \frac{1}{4} - \frac{x}{7} - \frac{28x}{7} = \frac{7}{4} - \frac{29x}{7}$.
  • $L = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{21/5}}{\sqrt{7/15}} = \frac{1}{3} - \sqrt{\frac{21}{5} \times \frac{15}{7}} = \frac{1}{3} - \sqrt{\frac{3 \times 7 \times 3 \times 5}{5 \times 7}} = \frac{1}{3} - \sqrt{9} = \frac{1}{3}-3 = -\frac{8}{3}$.
  • $M = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{5-\sqrt{2}}$.