التمرين الخامس

اختصر العبارات
تمرين

تبسيط العبارات الجذرية والجبرية

  • $A = 5\sqrt{18} - \sqrt{2} \times \sqrt{8} + \sqrt{50} + \sqrt{27}$
  • $B = 5\sqrt{12} - 2\sqrt{72} - \sqrt{128} - \frac{3\sqrt{150}}{5\sqrt{18}}$
  • $C = (4-5\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) - \sqrt{5}(3\sqrt{5}-1)$
  • $D = \frac{11-\pi\sqrt{11}}{\sqrt{11}-\pi}$
  • $E = |1-\sqrt{2}| - \sqrt{2}|\sqrt{2}+1|$
  • $F = \sqrt{4a^2} - 2\sqrt{9b^2} - 3\sqrt{a^2} + \sqrt{16b^2}$ حيث $a \in \mathbb{R}_+$ و $b \in \mathbb{R}_-$.
  • $G = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} - \sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • تبسيط الجذور: فكك الأعداد داخل الجذور إلى جداء يتضمن أكبر مربع كامل ممكن. مثال: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$.
  • القيمة المطلقة: تذكر القاعدة الأساسية $\sqrt{X^2} = |X|$. لإزالة القيمة المطلقة، حدد إشارة العبارة بداخلها. إذا كانت موجبة، تبقى كما هي. إذا كانت سالبة، اضربها في -1.
  • التفكيك والاختزال: في الكسور، ابحث عن عوامل مشتركة بين البسط والمقام لاختزالها.
  • المتغيرات الجبرية (العبارة F): انتبه للشروط المعطاة على $a$ و $b$ لتحديد إشارة كل منهما عند إزالة القيمة المطلقة.

📝 طريقة الحل

A: بسّط كل جذر: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. ثم قم بالعمليات الحسابية وتجميع الحدود المتشابهة.

B: بسّط كل جذر في العبارة: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{128}=8\sqrt{2}$, $\sqrt{150}=5\sqrt{6}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. بسّط الكسر $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ ثم اجمع الحدود.

C: انشر القوسين الأولين، وانشر القوس الثاني، ثم اجمع النتائج.

D: أخرج $\sqrt{11}$ كعامل مشترك من البسط: $11-\pi\sqrt{11} = \sqrt{11}(\sqrt{11}-\pi)$. ثم اختزل مع المقام.

E: احسب $|1-\sqrt{2}| = \sqrt{2}-1$ لأن $\sqrt{2}>1$. واحسب $|\sqrt{2}+1|=\sqrt{2}+1$ لأنه موجب. ثم عوض وبسط.

F: طبق قاعدة $\sqrt{kX^2} = \sqrt{k}|X|$. ستصبح العبارة بدلالة $|a|$ و $|b|$. استخدم الشروط $a \ge 0$ و $b \le 0$ لتعويض $|a|=a$ و $|b|=-b$.

G: العبارة تصبح $|2+\sqrt{2}| - |1-\sqrt{2}|$. أزل القيمة المطلقة لكل حد ثم احسب الفرق.

✅ الحل الكامل والمفصل

A) $A = 5\sqrt{18} - \sqrt{2 \times 8} + \sqrt{50} + \sqrt{27} = 5(3\sqrt{2}) - \sqrt{16} + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 15\sqrt{2} - 4 + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 20\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 4$.

B) $B = 5(2\sqrt{3}) - 2(6\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} - \frac{3(5\sqrt{6})}{5(3\sqrt{2})} = 10\sqrt{3} - 12\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - \frac{15\sqrt{6}}{15\sqrt{2}} = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{2} - \sqrt{\frac{6}{2}} = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{2} - \sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 20\sqrt{2}$.

C) $C = (4\sqrt{3}-4-15+5\sqrt{3}) - (15-\sqrt{5}) = (9\sqrt{3}-19) - 15 + \sqrt{5} = 9\sqrt{3} + \sqrt{5} - 34$.

D) $D = \frac{\sqrt{11}(\sqrt{11}-\pi)}{\sqrt{11}-\pi} = \sqrt{11}$.

E) $E = |1-\sqrt{2}| - \sqrt{2}|\sqrt{2}+1| = (\sqrt{2}-1) - \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}-1 - (2+\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1-2-\sqrt{2} = -3$.

F) $F = \sqrt{4}|a| - 2\sqrt{9}|b| - 3|a| + \sqrt{16}|b| = 2|a| - 6|b| - 3|a| + 4|b| = -|a|-2|b|$.
بما أن $a \ge 0$ و $b \le 0$, فإن $|a|=a$ و $|b|=-b$.
$F = -a - 2(-b) = -a+2b$.

G) $G = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} - \sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |2+\sqrt{2}| - |1-\sqrt{2}| = (2+\sqrt{2}) - (\sqrt{2}-1) = 2+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1=3$.