تحفة من تحف التعاون: تحليل نقدي، تصحيح منطقي، وحل أنيق.
نبدأ بـ $B = \frac{2x+2}{\sqrt{5}-2} - (\sqrt{5}+2)$.
نعلم أن $\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2$.
إذًا، $B = (2x+2)(\sqrt{5}+2) - (\sqrt{5}+2)$.
نأخذ العامل المشترك $(\sqrt{5}+2)$:
$B = (\sqrt{5}+2) [ (2x+2) - 1 ] = (\sqrt{5}+2)(2x+1)$.
السؤال رقم (2) في التمرين يطلب منا أن نثبت أن $B = (\sqrt{5}+2)(x+2)$. ولكن تبسيطنا الدقيق أعطانا $B = (\sqrt{5}+2)(2x+1)$.
الاستنتاج: التعريف الأصلي لـ B والنتيجة المطلوبة متناقضان. التمرين الأصلي معيب ولا يمكن حله كما هو مكتوب.
لتحقيق الهدف التعليمي، نفترض أن المؤلف قصد ما يلي لتحقيق تناسق أنيق:
المكون A (المصحح): $A = (\sqrt{5}-2)(x+2)$
المكون B (المصحح): $B = (\sqrt{5}+2)(x+2)$
باستخدام الصيغة المصححة $B = (\sqrt{5}+2)(x+2) = 0$.
بما أن $\sqrt{5}+2 \neq 0$, فإن الحل الوحيد هو $x+2=0 \implies x=-2$.
باستخدام الصيغ المصححة، نرى الأناقة في الحل:
$(\sqrt{5}-2)(x+2) + (\sqrt{5}+2)(x+2) = 0$.
نأخذ $(x+2)$ كعامل مشترك:
$(x+2) [ (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) ] = 0$.
$(x+2) [ 2\sqrt{5} ] = 0$.
بما أن $2\sqrt{5} \neq 0$, فإن الحل الوحيد هو $x+2=0 \implies x=-2$.