تمارين في الجبر والحساب

تمرين

نعتبر العددين: $a = \sqrt{49} - \sqrt{12} + 2\sqrt{27}$ و $b = (3-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})+1$.

لم تبدأ بعد

لتبسيط a: بسّط كل جذر على حدة. $\sqrt{12}$ و $\sqrt{27}$ يمكن كتابتهما بدلالة $\sqrt{3}$.
لتبسيط b: انشر القوسين $(3-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})$ ثم أضف 1.
لإثبات المقلوب: بيّن أن حاصل ضربهما $a \times b$ يساوي 1. استخدم الجداء المعتبر $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.
لحساب الكسر: بسّط المقام أولاً بتوحيد المقامات: $\frac{1}{a}-\frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$. ثم استخدم نتيجة أن $ab=1$.

1) تبسيط a و b:

a: احسب $\sqrt{49}=7$, بسّط $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$, وبسّط $2\sqrt{27}=2\sqrt{9 \times 3}=2(3\sqrt{3})=6\sqrt{3}$. ثم اجمع الحدود المتشابهة.
b: انشر الجداء: $(3-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 3 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 3-4\sqrt{3}+3$. ثم أضف 1.

2) المقلوب والكسر:

أ) احسب الجداء $(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})$ باستخدام قاعدة فرق المربعين $x^2-y^2$.
ب) المقام هو $\frac{1}{a}-\frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$. بما أن $ab=1$, فالمقام يساوي $b-a$. إذن الكسر يصبح $\frac{a-b}{b-a}$. لاحظ أن $a-b = -(b-a)$.

1. تبيين أن $a = 7+4\sqrt{3}$ و $b = 7-4\sqrt{3}$

حساب a:

$a = \sqrt{49} - \sqrt{12} + 2\sqrt{27} = 7 - \sqrt{4 \times 3} + 2\sqrt{9 \times 3}$

$a = 7 - 2\sqrt{3} + 2(3\sqrt{3}) = 7 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$.

حساب b:

$b = (3-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})+1 = (3 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 1$

$b = (6 - 4\sqrt{3}) + 1 = 7 - 4\sqrt{3}$.

2. أ) تبيين أن $a$ مقلوب $b$

لنحسب الجداء $a \times b$:

$a \times b = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})$

باستخدام الجداء المعتبر $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:

$a \times b = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \times 3) = 49 - 48 = 1$.

بما أن $a \times b = 1$, فإن $a$ هو مقلوب $b$.

2. ب) حساب الكسر $\frac{a-b}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$

أولاً، نبسط المقام:

$\frac{1}{a}-\frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab}$

من السؤال السابق، نعلم أن $ab=1$. إذن، المقام يساوي $b-a$.

العبارة تصبح: $\frac{a-b}{b-a}$.

بما أن $a-b = -(b-a)$, فإن:

$\frac{-(b-a)}{b-a} = -1$.

التمرين الأول