مرحبًا بك في تمارين الجزء الرابع للتعامل مع العبارات الجبرية التي تحتوي على الجذور التربيعية والكسور! يهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على فهم كيفية تبسيط هذه العبارات وحسابها بفعالية.
1) أحسب العبارات:
\( a = \frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} \), \( b = \frac{\sqrt{20}+\sqrt{45}}{2\sqrt{5}} \), \( c = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \), \( d = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} \)
2) بيّن أنّ: \( \left|\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-3}\right| = (3+2\sqrt{2})^2 \)
3) أحسب:
\( n = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}} + \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}} \)
\( p = 2|\sqrt{3}-5| - \sqrt{3}|\frac{3}{2}-\sqrt{3}| + \frac{7}{2}|5-2\sqrt{3}| \)
4) ليكن a عددا حقيقيا موجبا و b عددا حقيقيا سالبا، إختصر العبارة:
\( X = 2\sqrt{a^2}-3\sqrt{9a^2b^2}+2\sqrt{25b^2}-3a\sqrt{b^2}-2b\sqrt{4a^2} \)
1) حساب العبارات:
a: \( a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
b: \( b = \frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2} \)
c: \( c = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} - 1 \)
d: \( d = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \sqrt{6} + \frac{2\sqrt{6}}{8} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{5\sqrt{6}}{4} \)
2) تبيين:
نلاحظ أن \( 2\sqrt{2}-3 = - (3-2\sqrt{2}) \). إذن \( \frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-3} = - \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}} \).
نضرب في المرافق: \( - \frac{(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = - \frac{(3+2\sqrt{2})^2}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = - \frac{(3+2\sqrt{2})^2}{9-8} = -(3+2\sqrt{2})^2 \).
\( \left|-(3+2\sqrt{2})^2\right| = (3+2\sqrt{2})^2 \). وهو المطلوب.
3) حساب n و p:
n: \( n = \frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}} = \frac{(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 + (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2}{\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}} = \frac{(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})}{\sqrt{9-5}} = \frac{6}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3 \)
p: \( |\sqrt{3}-5| = 5-\sqrt{3} \); \( |\frac{3}{2}-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-\frac{3}{2} \); \( |5-2\sqrt{3}|=5-2\sqrt{3} \).
\( p = 2(5-\sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{3}-\frac{3}{2}) + \frac{7}{2}(5-2\sqrt{3}) = 10-2\sqrt{3} - 3+\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{35}{2}-7\sqrt{3} \)
\( p = (10-3+\frac{35}{2}) + (-2+\frac{3}{2}-7)\sqrt{3} = (\frac{14+35}{2}) + (\frac{-4+3-14}{2})\sqrt{3} = \frac{49}{2} - \frac{15\sqrt{3}}{2} \)
4) اختصار X:
بما أن \(a>0\) و \(b<0\), فإن \( \sqrt{a^2}=|a|=a \) و \( \sqrt{b^2}=|b|=-b \).
\( X = 2(a) - 3\sqrt{9a^2b^2} + 2\sqrt{25b^2} - 3a(-b) - 2b(2a) \)
\( X = 2a - 3(3|ab|) + 2(5|b|) + 3ab - 4ab \)
بما أن \(ab<0\), فإن \(|ab|=-ab\). و \(|b|=-b\).
\( X = 2a - 9(-ab) + 10(-b) + 3ab - 4ab = 2a + 9ab - 10b - ab \)
$$ X = 2a - 10b + 8ab $$